Działania na wektorach

Na wektorach możemy wykonywać podstawowe działania, takie jak dodawanie czy mnożenie.

Dodawanie wektorów

Jeśli chcesz dodać dwa wektory, zaczepiasz oba w początku układu współrzędnych, uzupełniasz je do równoległoboku, a przekątna wychodząca z początku układu jest szukanym wektorem. Oczywiście jest przygotowany rysunek poglądowy:

Analitycznie suma wektorów to suma odpowiednich współrzędnych. Jeśli więc masz dwa wektory $\vec{u}=[u_1, u_2]$ i $\vec{v}=[v_1, v_2]$, to suma $\vec{u}+\vec{v}$ jest równa

$$\vec{u}+\vec{v}=[u_1+v_1, u_2+v_2]$$

Dla wektorów z rysunku zachodzi: $\vec{u}=[2, 4]$ i $\vec{v}=[4, 1]$. Suma wygląda wtedy tak: $\vec{u}+\vec{v}=[2+4, 4+1]=[6, 5]$. Te współrzędne odpowiadają punktowi D.

Odejmowanie wektorów to to samo co dodawanie wektora przeciwnego. Analitycznie:

$$\vec{u}-\vec{v}=[u_1-v_1, u_2-v_2]$$

Jeśli dodajemy wektory, które leżą na jednej prostej i mają ten sam zwrot, to wynikowy wektor po prostu się wydłuży. Jeśli mają przeciwne zwroty, odejmujemy ich długości. Na rysunku będzie to lepiej widać:

Dodawanie wektorów jest przemienne i łączne. Istnieje wektor $\vec{0}$, który nazywamy wektorem zerowym, dla którego zachodzi $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$, podobnie jak u liczb. Dla każdego wektora $\vec{u}$ istnieje wektor przeciwny $-\vec{u}$, dla którego zachodzi $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$.

Mnożenie wektora przez liczbę

Jeśli mnożysz wektor przez liczbę rzeczywistą k, to po prostu mnożysz przez k obie jego współrzędne. Geometrycznie objawia się to „wydłużeniem” albo „skróceniem” wektora, ewentualnie odwróceniem jego zwrotu, jeśli k jest ujemne.

Z rysunku widać, że gdy mnożymy wektor u przez liczbę k, to:

• Jeśli wartość bezwzględna k jest mniejsza od jedności, wektor jest krótszy.
• Jeśli wartość bezwzględna k jest większa od jedności, wektor jest dłuższy.
• Jeśli k jest ujemne, wektor ma przeciwny zwrot.

Kombinacja liniowa wektorów

W algebrze liniowej często używamy kombinacji liniowych wektorów. Jeśli mamy wektory $\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3, \ldots$, to kombinacją liniową tych wektorów jest

• jeden z wektorów $\vec{u}_n$ pomnożony przez liczbę k,
• suma dowolnych dwóch lub więcej wektorów,
• połączenie obu poprzednich – możemy dodać dowolne wektory $\vec{u}_n$ pomnożone przez liczby k_n.

Jeśli mamy wektory $\vec{u}_1, \vec{u}_2, \ldots, \vec{u}_n$, to wektor $\vec{v}$ jest kombinacją liniową wektorów $\vec{u}_n$, jeśli zachodzi:

$$\vec{v}=c_1\cdot \vec{u}_1+c_2\cdot \vec{u}_2+\ldots+c_n\cdot \vec{u}_n;\quad c_i\in\mathbb{R}$$

Zauważ, że współczynniki c_i są liczbami rzeczywistymi, więc możemy za nie wybrać zero, przez co jeden z wektorów całkiem nam wypadnie. Przykład: mamy wektory $\vec{u}_1=[1, 3], \vec{u}_2=[0, 4], \vec{u}_3=[7, 2]$. Oto niektóre możliwe kombinacje liniowe:

$$\begin{eqnarray} [8, 9]&=&1\cdot[1, 3]+1\cdot[0, 4]+1\cdot[7, 2]\\ [22, 17]&=&1\cdot[1, 3]+2[0, 4]+3[7, 2]\\ [68, 38]&=&-2[1, 3]+6[0, 4]+10[7, 2]\\ \left[-\frac12, -\frac{43}{2}\right]&=&-\frac12[1, 3]-5[0, 4]+0[7, 2]\\ \end{eqnarray}$$