Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny definiuje się dla dwóch wektorów i wyraża związek między długościami wektorów a kątem między nimi.

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny definiujemy dla dwóch wektorów. Oznaczamy go jak zwykły iloczyn, kropką: $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Wynikiem iloczynu skalarnego jest liczba rzeczywista, a nie wektor. Jeśli mamy dwa wektory $\vec{u}=[u_1, u_2]$ i $\vec{v}=[v_1, v_2]$, to ich iloczyn skalarny jest równy:

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=u_1v_1+u_2v_2$$

Jeśli co najmniej jeden z wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ jest zerowy, ich iloczyn definiujemy tak:

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$$

Jakie jest geometryczne znaczenie iloczynu skalarnego? Dla iloczynu skalarnego dwóch wektorów zachodzi jednocześnie

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha,$$

gdzie α oznacza miarę kąta między tymi wektorami. Ten wzór daje nam prosty sposób na wyznaczenie miary kąta między dwoma wektorami. Jeśli wyznaczymy z niego cosinus, dostaniemy wzór:

$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Wzór dotyczy płaszczyzny. W przestrzeni musimy dodać jeszcze jeden wymiar. Teraz możemy już narysować geometryczne znaczenie iloczynu skalarnego.

Jeśli pomnożymy skalarnie wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$, a wynik podzielimy przez długość wektora $\vec{u}$, dostaniemy długość odcinka AD, czyli długość rzutu wektora $\vec{v}$ na kierunek wektora $\vec{u}$.

Sprawdzanie kąta prostego

Iloczyn skalarny możemy wykorzystać do sprawdzenia, czy kąt między wektorami jest równy $90^{\circ}$. Kiedy iloczyn skalarny będzie równy zero? Gdy popatrzymy na wzór…

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$$

…to zobaczymy, że iloczyn $|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|$ będzie zawsze niezerowy (kąta między wektorami zerowymi nie definiujemy, więc zajmujemy się teraz tylko wektorami niezerowymi). Długości wektorów będą zawsze dodatnie, tak samo jak ich iloczyn. Jedyny czynnik, który może sprowadzić całe wyrażenie do zera, to cosinus. Kiedy cosinus jest równy zero? Gdy kąt jest równy $90^{\circ}$ (albo $270^{\circ}$ – kąt prosty będzie wtedy po drugiej stronie). Zachodzi więc, że wektory tworzą kąt prosty wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero.

Przykład: mamy trzy wektory: $\vec{u}_1=[-2, 4], \vec{u}_2=[2, 1], \vec{u}_3=[1, 4]$. Które z nich są do siebie prostopadłe? Obliczymy po kolei iloczyny skalarne wszystkich par wektorów:

$$\begin{eqnarray} \vec{u}_1\cdot \vec{u}_2=-2\cdot2+4\cdot1&=&0\\ \vec{u}_1\cdot \vec{u}_3=-2\cdot1+4\cdot4&=&14\\ \vec{u}_2\cdot \vec{u}_3=2\cdot1+1\cdot4&=&6 \end{eqnarray}$$

Według iloczynu skalarnego kąt prosty jest tylko między wektorami $\vec{u}_1$ i $\vec{u}_2$. Możesz obejrzeć rysunek z tymi wektorami:

Spróbujmy jeszcze obliczyć kąt między wektorami $\vec{u}_1$ i $\vec{u}_3$. Po prostu podstawimy do wzoru:

$$\begin{eqnarray} \cos\alpha&=&\frac{-2\cdot1+4\cdot4}{\sqrt{(-2)^2+4^2}\cdot\sqrt{1^2+4^2}}\\ &=&\frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{17}}\\ &=&\frac{14}{\sqrt{340}}\\ &\approx&\frac{14}{18{,}439} \end{eqnarray}$$

Jeśli obliczymy arcus cosinus, dostaniemy miarę kąta. Wynikiem jest kąt o mierze około $40^{\circ}$.