Paradoks wyniku fałszywie dodatniego

Pacjent wykonuje test na jakąś chorobę i test daje wynik dodatni, czyli odpowiada, że pacjent jest chory. W rzeczywistości prawdopodobieństwo, że naprawdę jest chory, może jednak być znacznie mniejsze niż to, że chory nie jest.

Historia

Zdarzyło się, że w Warszawie pojawiła się świńska grypa. Student matematyki idzie do lekarza, który robi mu test, czy ma tę grypę, czy nie. Test ma skuteczność 99,95%. Po tygodniu student dowiaduje się, że test wyszedł dodatni. Przez chwilę jest smutny, przecież test ma 99,95% skuteczności, więc szansa, że się pomylił, wynosi tylko 0,05%. Ale potem zaczyna liczyć i się cieszy. Odkrywa, że prawdopodobieństwo, że naprawdę ma świńską grypę, wynosi tylko około 17%. Jak to możliwe?

Prześledźmy to dokładnie. Dla uproszczenia wyobraźmy sobie, że nasz wymyślony test mógłby działać tak. (W praktyce trudno, żeby jakiś test miał na przykład 100% skuteczności, ale dla uproszczenia tak załóżmy.)

• Jeśli jesteś chory, test w 100% przypadków powie ci, że jesteś chory.
• Jeśli nie jesteś chory, test jest skuteczny w 99,95% przypadków. Czyli nawet gdy nie jesteś chory, w 0,05% przypadków test powie, że jesteś.
• Jeśli test stwierdzi, że nie jesteś chory, na pewno chory nie jesteś.
• Jeśli test stwierdzi, że jesteś chory, może to być prawda albo pomyłka.

To jednak nie wszystko, co musimy wiedzieć. Musimy jeszcze znać liczbę chorych w danej populacji.

Dużo chorych

Zobaczmy teraz, jak test wypadnie w różnych środowiskach. W tym przypadku wynik będzie zgodny z oczekiwaniami. Wyobraź sobie populację A, w której 200 osób na 10 000 naprawdę ma świńską grypę, czyli zakażonych jest 2% ludzi. Przeprowadzamy test na milionie osób. Oznacza to, że 20 000 osób ma grypę, a pozostałe nie.

Ponieważ test zawsze się sprawdza, jeśli ktoś na daną chorobę choruje, uzna 20 000 osób za chore. Zostaje 980 000 osób, które nie są chore. Tu test ma skuteczność 99,95%, czyli myli się w 0,05% przypadków, więc uzna za chore 980 000 · 0,0005 = 490 osób, choć chore nie są.

W sumie test uzna więc za chore 20 490 osób. Z tej liczby chorych jest jednak tylko 20 000 osób. Prawdopodobieństwo, że naprawdę jesteś chory, wynosi więc 20 000 / 20 490 = 0,9760858956, czyli około 97,6%.

Mało chorych

Spójrzmy na populację B, w której chora jest tylko 1 osoba na 10 000, czyli chorobę ma 0,01% mieszkańców. Przeprowadzamy ten sam test na milionie osób.

Z miliona osób chorych jest tylko 100 — te osoby test poprawnie uzna za chore. Zostaje nam 999 900 osób, które są zdrowe. Spośród nich test przez swój błąd uzna za chore 0,05%. Test uzna więc za chore $999 900 \cdot 0,0005 \approx 500$ zdrowych osób. Pozostałe zostaną poprawnie uznane za zdrowe.

W sumie test uzna za chore 100 + 500 = 600 osób. Naprawdę chorych jest jednak wśród nich tylko sto, więc prawdopodobieństwo, że naprawdę jesteś chory, wynosi tylko 100/600 = 1/6, czyli około 17%. Choć test uznał cię za chorego, nadal masz znacznie większą szansę, że chory nie jesteś.

Jeden chory

Poprzedni wynik, że jeśli test uzna cię za chorego, to w rzeczywistości masz tylko około 17% szans, że naprawdę jesteś chory, może być dla kogoś zaskakujący. Jeszcze lepiej widać to jednak, gdy doprowadzimy przykład do skrajności.

Załóżmy, że mamy populację miliona osób, z których chora jest tylko jedna jedyna osoba. Test, którym się badamy, ma u zdrowych osób 90% skuteczności. Co to oznacza? Że test spośród 999 999 zdrowych osób uzna za chore 10%, czyli uzna za chore około stu tysięcy osób. A naprawdę chora jest tylko jedna osoba. Nawet jeśli test cię wskaże, masz tylko 1/100000 szans, że naprawdę jesteś chory, czyli około 0,001%.