Kości nieprzechodnie
Kapitoly: Paradoks Monty’ego Halla, Probabilistyczny paradoks kłamcy, Paradoks krawatów, Paradoks Simpsona, Paradoks testu medycznego, Paradoks petersburski, Kości nieprzechodnie
Wyobraź sobie, że masz trzy sześcienne kości do gry, na których ściankach są dowolne liczby. Czy może się zdarzyć, że na kości A częściej wypada wyższa liczba niż na kości B, na kości B częściej wypada wyższa liczba niż na kości C, a na kości C częściej wypada wyższa liczba niż na kości A?
Przechodniość
Przechodniość to pojęcie z relacji dwuargumentowych. Powiemy, że relacja R w zbiorze M jest przechodnia, jeśli dla wszystkich a, b, c ∈ M zachodzi: jeśli (a, b) ∈ R i jednocześnie (b, c) ∈ R, to także (a, c) należy do R.
W przypadku kości moglibyśmy mieć relację „być lepszą kością” w tym sensie, że kość A jest lepsza od kości B, jeśli na kości A częściej wypada wyższa liczba niż na kości B. Przechodniość wyglądałaby wtedy tak: jeśli kość A jest lepsza od kości B i jednocześnie kość B jest lepsza od kości C, to także kość A musi być lepsza od kości C. Czy to prawda?
Spróbujemy znaleźć kontrprzykład, czyli takie trzy kości, które będą od siebie lepsze cyklicznie. Kość A będzie lepsza od kości B, kość B będzie lepsza od kości C, a kość C będzie lepsza od kości A. Bierzemy pod uwagę zawsze tylko kości sześcienne.
Przykład
Przykładem są te trzy kości:
- A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
- B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
- C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że na kości A wypadnie większa liczba niż na kości B? Jest w sumie 36 różnych par wyników, jakie mogą wypaść na obu kościach. Jeśli na kości B wypadnie pierwsza jedynka, to na kości A zawsze wypadnie większa liczba. Mamy więc 6 par, w których na kości A wypada wyższa liczba. Jeśli na B wypadnie druga jedynka, mamy kolejnych 6 par, w których na A wypada wyższa liczba. Jeśli wypadnie jedna z szóstek, na A musi wypaść jedna z dziewiątek. To kolejne 4 możliwości. Jeśli wypadnie jedna z ósemek, na A musi wypaść jedna z dziewiątek. Znowu 4 możliwości. Razem mamy 6 + 6 + 4 + 4 = 20 możliwości. Prawdopodobieństwo, że na A wypadnie wyższa liczba, jest więc równe 20/36 = 5/9, czyli w przybliżeniu 56%.
Teraz B kontra C. Jeśli na C wypadnie jedna z trójek, na B musi wypaść jedna z szóstek albo jedna z ósemek. To razem 2 · 4 = 8 możliwości. Jeśli wypadnie piątka, na B znowu musi wypaść 6 albo 8, więc znowu 8 możliwości. Jeśli wypadnie siódemka, na B musi wypaść ósemka, 4 możliwości. Razem 8 + 8 + 4 = 20. Prawdopodobieństwo jest znowu równe 5/9.
Na koniec C kontra A. Jeśli na A wypadnie dwójka, wszystko na C jest wyższe. To 12 możliwości. Jeśli wypadnie czwórka, na C może wypaść 5 albo 7. To 8 możliwości. Jeśli wypadnie dziewiątka, mamy pecha. Razem daje to 12 + 8 = 20 możliwości i znowu dostajemy prawdopodobieństwo 5/9.
Kości Efrona
Kości Efrona to kolejny przykład zestawu kości, które nie są przechodnie względem relacji „być lepszą kością”. Mają takie liczby:
- A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
- B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
- C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
- D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.
Przy tym zachodzi, że każda kość pokonuje następną (a ostatnia pierwszą) zawsze z prawdopodobieństwem 2/3. Na przykład gdy na kości A wypadnie czwórka, wygrywa z kością B. Gdy wypadnie zero, przegrywa. A czwórka wypada na kości A z prawdopodobieństwem 2/3. Podobnie jest z pozostałymi kośćmi.
Istnieją też inne warianty kości Efrona. Takie, które mają tę samą średnią wartość na jeden rzut (w zwykłych kościach Efrona tak nie jest, na przykład kość A wyrzuca średnio liczbę 8/3, podczas gdy C ma średnią wyższą, 10/3), albo takie, które dzielą między siebie wszystkie liczby naturalne od 1 do 24.