Paradoks petersburski

Paradoks petersburski łączy statystykę, podejmowanie decyzji i prawdopodobieństwo. W Petersburgu jest kasyno, które proponuje nam grę, w której możemy wygrać pewną kwotę pieniędzy. Naszym zadaniem jest ustalić, jaka byłaby uczciwa opłata za wejście do tej gry.

Zasady gry

Jeśli przystąpimy do gry, krupier zaczyna rzucać monetą. Jeśli w pierwszym rzucie wypadnie reszka, gra się kończy, a my wygrywamy jedno euro. Jeśli wypadnie orzeł, gra toczy się dalej. W drugiej rundzie znowu rzuca się monetą. Jeśli wypadnie reszka, gra się kończy, a my wygrywamy dwa razy tyle, ile wynosiła poprzednia możliwa wygrana, czyli dwa euro. Jeśli wypadnie orzeł, gramy dalej. Jeśli reszka wypadnie w trzeciej rundzie, wygrywamy cztery euro. Jeśli w czwartej, wygrywamy osiem euro.

Uogólniając — jeśli reszka wypadła w k-tej rundzie, wygraliśmy 2^{k − 1} euro. Pytanie brzmi teraz: jaka byłaby uczciwa opłata za wejście do tej gry?

Wartość oczekiwana

Uczciwa cena powinna wynikać z wartości oczekiwanej. Jeśli na przykład średnio możemy wygrać sto euro, opłata za wejście powinna wynosić sto euro, ewentualnie trochę więcej, żeby kasyno zarobiło. Ale jaka jest wartość oczekiwana w naszej grze? Rozpiszmy prawdopodobieństwa, z jakimi możemy zdobyć poszczególne wygrane. W pierwszej kolumnie są wygrane, w drugiej nasza szansa, że daną wygraną zdobędziemy. Na przykład szansa, że w pierwszym rzucie wypadnie reszka, wynosi $\frac12$. Szansa, że najpierw wypadnie orzeł, a potem reszka, wynosi $\frac14$. I tak dalej.

$$\begin{array}{cc} 1&1/2\\ 2&1/4\\ 4&1/8\\ 8&1/16\\ 16&1/32\\ …&… \end{array}$$

Jak teraz obliczymy wartość oczekiwaną? Każdą kwotę, którą możemy zdobyć, pomnożymy przez prawdopodobieństwo, z jakim tę kwotę możemy zdobyć, i wszystko dodamy. Otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} E&=&\frac12\cdot1+\frac14\cdot2+\frac18\cdot4+\frac{1}{16}\cdot8+\ldots\\ &=&\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\ldots\\ &=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac12=\infty \end{eqnarray}$$

Wartość oczekiwana jest nieskończona. Oczekiwana wygrana wynosi więc, w wyidealizowanym przypadku, nieskończenie wiele euro. To nie wygląda źle. Problem w tym, że wtedy także opłata za wejście powinna być równa nieskończoności. To oczywiście nonsens.

Krytycy tego paradoksu oczywiście zarzucają, że nie da się grać nieskończenie długo, nie możemy wygrać nieskończenie wielu pieniędzy, a nawet jeśli „zmniejszysz” maksymalną liczbę rzutów monetą z nieskończoności do jakiejś skończonej liczby n, to i tak dość szybko dojdziesz do takich kwot, jakich nikt na świecie nie ma. Na przykład po 41 rzutach wygrałbyś już 2⁴⁰ euro, czyli mniej więcej bilion euro (tysiąc miliardów euro). Po kolejnych dziesięciu rzutach wygrałbyś tysiąc razy więcej pieniędzy.

Skończona opłata za wejście

Nieskończenie wielu euro za wejście oczywiście nikt ci nie zapłaci. Paradoks można jednak częściowo pokazać także ze skończoną kwotą pieniędzy. Dla każdej kwoty w pełnych euro istnieje bowiem maksymalna liczba rzutów monetą, dla której wartość oczekiwana wychodzi taka, jakiej potrzebujemy. Jeśli na przykład chcemy, żeby opłata za wejście wynosiła tysiąc euro, ustalimy, że maksymalna liczba rzutów monetą wynosi 2000. Wtedy liczymy taką sumę:

$$\sum_{k=1}^{2000}\frac12=2000\cdot\frac12=1000$$

Wartość oczekiwana wyniesie wtedy 1000 euro. Jeśli chcemy, żeby opłata za wejście wynosiła D euro, ustalimy, że maksymalna liczba rzutów monetą wynosi 2D.

Oczywiście żaden rozsądny człowiek nie zapłaci za wejście na przykład tysiąca euro, jeśli ma znikomą szansę, że wygra więcej niż tysiąc euro.

Więcej informacji

• Polska Wikipedia