Paradoks krawatów

Spotykają się kiedyś na urlopie w Dubaju Marek, były prezes wielkiego państwowego koncernu energetycznego, i Wojciech, wybitny polski polityk. Po kilku butelkach dobrego wina zaczynają się zakładać o to, który z nich ma droższy krawat.

Treść zadania

Jak już wiemy, Marek i Wojciech po kilku butelkach wina zaczynają się zakładać o to, który z nich ma droższy krawat. Krawaty dostali pod choinkę od swoich żon i sami nie wiedzą, ile kosztują. Dokładna treść zakładu brzmi tak: zapytają żony o cenę i ten, kto ma tańszy krawat, dostanie krawat drugiego. Jeśli więc Wojciech ma tańszy krawat niż Marek, Wojciech dostaje krawat Marka. I odwrotnie. Pierwsze pytanie brzmi: czy któryś z nich ma przewagę? Czy któremuś z nich opłaca się przyjąć zakład, czy szanse obu są dokładnie takie same?

Pseudorozwiązanie

Może i tak. Będziemy dalej zakładać, że krawaty mają różne ceny. Na rozwiązaniu to nic nie zmienia, bo gdyby ceny były równe, nikt nie dostałby niczyjego krawata. Licz ze mną: Wojciech ma krawat, który kosztuje X złotych. O krawacie Marka nic nie wie, nie ma też żadnych innych wskazówek, więc prawdopodobieństwo, że ma tańszy krawat, wynosi 50%, a prawdopodobieństwo, że ma droższy krawat, też wynosi 50%. Jeśli więc Wojciech będzie miał droższy krawat, straci X złotych. Ale jeśli będzie miał tańszy krawat, zyska więcej niż X złotych. Jedno i drugie z prawdopodobieństwem 50%: ma 50% szans, że straci X złotych, i 50% szans, że zyska więcej niż X złotych.

Przy tym samym prawdopodobieństwie może więc wygrać więcej pieniędzy (droższy krawat), niż może przegrać. A to się opłaca! Wygląda na to, że dla Wojciecha wszystko układa się bardzo dobrze i że lepiej będzie, jeśli zakład przyjmie. Może zyskać więcej, niż może stracić.

Tyle że, jak się pewnie domyślasz, to samo rozumowanie może przeprowadzić Marek. Marek też ma 50% szans, że straci swój krawat o cenie Y, i 50% szans, że wygra krawat o cenie wyższej niż Y.

Oczywiście nie jest możliwe, żeby w tym samym zakładzie obaj uczestnicy mieli przewagę; coś musi być nie tak.

Rozwiązanie

Najpierw rozpiszemy, co kto właściwie może wygrać. Podstawimy dowolne konkretne ceny krawatów. Załóżmy dla uproszczenia, że istnieją tylko dwa krawaty, w cenach 3000 i 4000 złotych. Wtedy z punktu widzenia Wojciecha mogą zajść takie przypadki:

• Wojciech ma krawat za 3000, a Marek za 4000 $\rightarrow$ Wojciech zyskał 4000.
• Wojciech ma krawat za 4000, a Marek za 3000 $\rightarrow$ Wojciech stracił 4000.

(Przypadek, że mają krawaty w tej samej cenie, wykluczyliśmy, ale nie byłoby to konieczne — żaden z nich by wtedy nie wygrał.)

Jak widać, gra toczy się zawsze o te same pieniądze, Wojciech może albo zyskać 4000, albo stracić 4000. Oczywiście nie zależy to od konkretnej ceny; jeśli podstawisz kwoty 250 i 350, gra zawsze będzie się toczyć o 350 złotych. Nikomu więc nie opłaca się przyjąć zakładu (ani go odrzucić), jeśli nie ma dodatkowych informacji.

Gdybyśmy mieli w sumie trzy różne krawaty, powiedzmy za 2000, 3000 i 4000, dostalibyśmy trochę więcej możliwości. Najpierw wygrane Wojciecha, potem jego przegrane:

• Wojciech ma krawat za 2000, a Marek za 3000 $\rightarrow$ Wojciech zyskał 3000.
• Wojciech ma krawat za 2000, a Marek za 4000 $\rightarrow$ Wojciech zyskał 4000.
• Wojciech ma krawat za 3000, a Marek za 4000 $\rightarrow$ Wojciech zyskał 4000.
• Wojciech ma krawat za 3000, a Marek za 2000 $\rightarrow$ Wojciech stracił 3000.
• Wojciech ma krawat za 4000, a Marek za 2000 $\rightarrow$ Wojciech stracił 4000.
• Wojciech ma krawat za 4000, a Marek za 3000 $\rightarrow$ Wojciech stracił 4000.

Wszystkie możliwości są jednakowo prawdopodobne. Jak widać, Wojciech może zyskać dokładnie te pieniądze, które może jednocześnie stracić. Podobne tabele dostalibyśmy dla jeszcze większej liczby krawatów; zawsze by się okazało, że Wojciech może stracić takie pieniądze, jakie może jednocześnie zyskać. A ponieważ wszystkie możliwości są jednakowo prawdopodobne, żaden z uczestników nie jest w gorszej sytuacji.

Główny błąd Wojciecha polegał na tym, że przyjął stałą cenę swojego krawata. Tak robić nie może, bo jak widać na przykładzie z dwoma krawatami, cena jego krawata w przypadku przegranej była inna niż cena jego krawata w przypadku wygranej. Podobnie w kolejnym przykładzie z trzema krawatami — gdy Wojciech wygrał, cena jego krawata należała do zbioru {2000, 3000}, ale gdy przegrał, cena należała do zbioru {3000, 4000}. A Wojciech cały czas zakładał stałą kwotę.