Silnia

Silnia liczby naturalnej n ≥ 1 jest równa iloczynowi wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Silnię zapisujemy za pomocą wykrzyknika: n!. Dla zera przyjmujemy: 0! = 1. Silnia przydaje się przede wszystkim w kombinatoryce, gdzie za jej pomocą oblicza się na przykład liczbę permutacji. Na przykład silnia z pięciu wynosi 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definicja silni

Silnię można zdefiniować na różne sposoby. Najprostszy jest chyba ten:

$$ n! = \begin{cases} 1&\text{jeśli n = 0}\\ n\cdot (n-1)!&\text{w przeciwnym razie} \end{cases} $$

Możemy też podać definicję za pomocą iloczynu:

$$ n!=\prod_{k=1}^nk $$

Albo jeszcze za pomocą całki:

$$ (z-1)!=\Gamma (z):=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t,\qquad\Re (z)>0. $$

Obliczenia z silniami

Z silniami często liczy się w ułamkach. Korzysta się wtedy z faktu, że n! = n · (n − 1)!. Wynika to wprost z definicji, pokażemy to na przykładzie. Wiemy, że silnia z czterech, 4!, jest równa iloczynowi liczb naturalnych 4 · 3 · 2 · 1. Przy tym możemy zapisać, że iloczyn 3 · 2 · 1 jest równy silni z trzech: 3 · 2 · 1 = 3!. Silnię z czterech możemy więc zapisać jako 4! = 4 · 3!.

$$ 4!=4\cdot\underbrace{3\cdot2\cdot1}_{=3!}=4\cdot3! $$

Dzięki temu w ułamkach można sprawnie skracać wiele różnych silni. Przykład – uprość wyrażenie:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Upraszczamy według wzoru, o którym przed chwilą wspomniałem. W liczniku możemy rozpisać silnię na n · (n − 1)!, a to jeszcze (według tego samego wzoru) możemy rozłożyć na n · (n − 1) · (n − 2)!. Teraz już możemy ładnie skrócić ułamek:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\fbox{(n-2)!}}{\fbox{(n-2)!}}=n(n-1)$$

Kolejny przykład:

$$\begin{eqnarray} \frac{n!\cdot(n+1)!}{(n-1)!\cdot(n+2)!}&=&\frac{n\cdot\fbox{(n-1)!}\cdot(n+1)!}{\fbox{(n-1)!}\cdot(n+2)!}\\ &=&\frac{n\cdot(n+1)!}{(n+2)!}\\ &=&\frac{n\cdot\fbox{(n+1)!}}{(n+2)\cdot\fbox{(n+1)!}}\\ &=&\frac{n}{n+2} \end{eqnarray}$$

I ostatni przykład z silnią:

$$\begin{eqnarray} \frac{(2(n+1))!}{(2n)!} &=& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ &=&\frac{(2n+2)(2n+1)\fbox{(2n)!}}{\fbox{(2n)!}}\\ &=&(2n+2)(2n+1) \end{eqnarray}$$