束

束（そく）とは、順序集合のうち、その束のどの二つの要素にも上限と下限が存在し、それらもその束に属するという性質をもつもののことです。

上界の集合と下界の集合

まず、何らかの順序 $\leqq$ が定義された集合 M を考えます。この順序はどんなものでもかまいませんが、順序関係の条件を満たさなければなりません。

次に、集合 M から要素 a を一つとります。集合 M における要素 a の上界の集合を、a 以上であるすべての x ∈ M、つまり $a\leqq x$ を満たすすべての要素の集合と定義します。

集合として自然数をとり、要素を a = 7 とすると、上界の集合は数の集合 {7, 8, 9, …} です。実数で考えると、区間 [7, ∞) が得られます。

集合 M = 2^ℕ をとってみましょう。これはべき集合、つまり自然数の部分集合全体の集合です。自然数を使ってつくれるすべての集合を集めたものといえます。順序は部分集合の関係で定めます。したがって、$\{3,5\}\leqq \{3,4,5\}$ などが成り立ちます。

集合 {1, 2, 3, 4} の上界の集合は、要素 1, 2, 3, 4 を含むすべての集合です。例えば、集合 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} や {1, 2, 3, 4, 2323, 454645} です。集合 {1, 2, 3, 4} 自身も上界の集合に含まれます。

下界の集合も同じように定義します。要素 a 以下である要素の集合です。a = 7 で M が自然数のとき、集合 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} が得られます。7以下の自然数です。

集合 {1, 2, 3, 4} については、この集合のすべての部分集合が得られます。

複数の要素の上界の集合と下界の集合

前の節では、一つの要素について上界・下界の集合を定義しました。しかし、複数の要素についても定義できます。集合 M と要素 a、b があるとき、その共通の上界の集合は、a と b の両方以上である要素からなります。言いかえると、二つの要素それぞれの上界の集合を求め、その共通部分をとります。こうして、a より大きく、かつ b より大きい要素が得られます。

自然数で考えてみましょう。a = 3, b = 5 とします。a 以上のすべての要素は集合 {3, 4, 5, 6, …}、b 以上のすべての要素は {5, 6, 7, 8, …} です。この共通部分をとると、また集合 {5, 6, 7, 8, …} が得られます。全順序集合なら、二つの要素のうち大きいほうを見つけ、その上界の集合を求めれば十分です。

集合の場合は、それほど簡単ではありません。集合 a = {1, 2, 3} と b = {2, 3, 4} の下界の集合を求めてみましょう。これは、a の部分集合でもあり、b の部分集合でもあるすべての集合です。例えば、集合 {1, 2, 3} は a の部分集合でしょうか。はい。b の部分集合でもあるでしょうか。いいえ。したがって、この集合は下界の集合には入りません。

a と b の両方の部分集合になるいちばん大きい集合はどれかを考えてみましょう。それは明らかに集合 {2, 3}、つまり共通部分 a ∩ b です。これは下界の集合に入ります。この集合のすべての部分集合も入ります。例えば ∅ ⊆ {2, 3} で、さらに {2, 3} ⊆ a ∧ {2, 3} ⊆ b なら、当然 ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b も成り立つからです。これは推移性から導かれます。

最後に、二つの要素だけでなく、集合全体について上界・下界の集合を定義します。集合 M と、上界・下界の集合を求めたい集合 A ⊆ M があるとします。このとき、上界の集合と下界の集合は次のとおりです（H は上界の集合、D は下界の集合を表します）。

$$\begin{array}{rcl}H(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\geqq a\}\\ D(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\leqq a\}\end{array}$$

上限と下限

上界・下界の集合を使うと、上限と下限を簡単に定義できます。集合 M と要素 a ∈ M があるとき、要素 a の上限も下限も、a 自身です。

一方、M の二つの要素 a、b の上限を求めたいときは、別の考え方が必要です。要素 a、b の上限は a ∨ b または sup(a, b) と書き、要素 a、b の上界の集合の最小元に等しくなります。つまり、要素 a、b 以上のすべての要素を求め、その中から最小元をとります。極小元ではなく、最小元です。最小元は一般には存在するとは限らないので、上限も一般には存在するとは限りません。

下限を求めるときは、まず二つの要素の下界の集合を求め、次にその最大元を求めます。

例を見てみましょう。すでに見たように、3 と 5 の上界の集合は集合 {5, 6, 7, …} です。最小元は5です。したがって、sup(3, 5) = 5 が成り立ちます。

また、集合 a = {1, 2, 3} と b = {2, 3, 4} の下界の集合は、集合 {2, 3} のすべての部分集合からなる集合に等しいことがわかっています。これは集合 {2, 3}、{2}、{3}、∅ です。このうち最大のものは集合 {2, 3} です。したがって、この集合が集合 a、b の下限です。a ∧ b = {2, 3} または inf(a, b) = {2, 3} と書きます。

束の定義

束 S とは、どの二つの要素 a, b ∈ S にも上限と下限が存在し、その下限と上限が集合 S に属するような順序集合のことです。したがって、順序集合 S が束であるとは、次が成り立つことだと書けます。

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{かつ}inf(a,b)\in S$$

束の簡単な例は、ふつうの大小関係をもつ実数です。sup(a, b) = max(a, b)、inf(a, b) = min(a, b) が成り立ち、これらはつねに実数です。

前に導入した、部分集合の関係で順序づけた集合族も束です。sup(a, b) = a ∪ b、inf(a, b) = a ∩ b が成り立ちます。これらもまたこの集合族の集合です。

集合族 S として、要素を2個もつ自然数の部分集合すべて（例えば {1, 2}、{7, 19}、…）をとると、この集合は束ではありません。例えば sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4} ですが、集合 {1, 2, 3, 4} は要素を2個もつ自然数の部分集合全体の集合に属さないからです。