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行列式

線形代数では、行列式とは、各正方行列 A にスカラーを対応させる写像のことで、そのスカラーを |A| と書きます。数を成分とする行列では、行列式はある実数になります。

置換

行列式を定義するには、n 個の並びの置換、より正確には置換の符号の求め方を知っておく必要があります。例を使って説明しましょう。順序のついた3つ組 ⟨1, 2, 3⟩ が、3つ組 ⟨2, 3, 1⟩ に移されるとします。置換の場合、これをふつう次のように書きます。

(123231)

ここで、最初の並びから2番目の並びを得るのに、数の入れかえが何回必要かを調べます。ただし、入れかえてよいのは隣り合う数どうしだけです。3つ組 ⟨1, 2, 3⟩ から始めます。1と2を入れかえると ⟨2, 1, 3⟩ になります。次に1と3を入れかえると ⟨2, 3, 1⟩ になり、求める置換が得られます。この像を得るのに、入れかえが2回必要でした。置換の符号は簡単にわかります。入れかえの回数が偶数なら符号は正、奇数なら符号は負です。したがって、この例の置換の符号は正です。このような置換を偶置換、符号が負の置換を奇置換といいます。次の例でも置換の符号を求めてみましょう。

(42311342)

次のように進めます。

⟨4,2,3,1⟩→⟨4,2,1,3⟩→⟨4,1,2,3⟩→⟨1,4,2,3⟩→⟨1,4,3,2⟩→⟨1,3,4,2⟩

これで並べかえが完了しました。入れかえは全部で5回必要だったので、今度は奇置換が得られました。

置換の符号は、レヴィ＝チヴィタ記号を使って表します。

ϵi1,…,in={+1(i1,i2,…,in) が (1,2,3,4,…,n) の偶置換のとき−1(i1,i2,…,in) が (1,2,3,4,…,n) の奇置換のとき0それ以外のとき

行列式の定義

行列式は数です。正方行列に対してだけ定義され、det A または |A| と書きます。この数は次のように定義されます。

|A|=∑i1,…,innϵi1,…,ina1i1⋅a2i2⋅…⋅anin

2 × 2 型の正方行列の行列式を求めてみましょう。

A=(4213)

定義に具体的な値 n = 2 を代入すると、次の式が得られます。

|A|=∑i1,i22ϵi1,i2⋅a1i1⋅a2i2

i1 と i2 はそれぞれ値 1 と 2 をとるので、a) i1 = 1, i2 = 1, b) i1 = 1, i2 = 2, c) i1 = 2, i2 = 1, d) i1 = 2, i2 = 2 の四つの場合ができます。

a) と d) の場合は置換にならないので、ϵ1,1 = 0、ϵ2,2 = 0 です。したがって、和のこれらの項は 0 · a1i1 · a2i2 = 0 となります。

残るのは b) と c) の場合です。b) i1 = 1, i2 = 2 の場合、⟨1, 2⟩ は ⟨1, 2⟩ の偶置換なので、ϵ1,2 = 1 です。これで1つ目の項が得られます。

1⋅a1i1⋅a2i2=1⋅a11⋅a22=4⋅3=12

残りの場合は i1 = 2, i2 = 1 です。ϵ2,1 の値は −1 です。これで2つ目の項が得られます。

−1⋅a1i1⋅a2i2=−1⋅a12⋅a21=−1⋅2⋅1=−2

最後に、四つの場合 a) + b) + c) + d) をすべて足すと、次のようになります。

|A|=0+12−2+0=10.

行列 A の行列式は10です。

結局、行列式は次の差として求められたことがわかります。

|A|=a11⋅a22−a12⋅a21

この式は、どんな 2 × 2 型の行列についても成り立ちます。

サラスの方法

サラスの方法は、3次の正方行列の行列式を求める方法です。この行列式は少し複雑になります。例えば、次の行列で計算してみましょう。

A=(53217−80−27)

2次の場合と同じように進めますが、見やすくするため、この行列にさらに二つの行を加えます。行列の下に、最初の二つの行を書き写します。

A′=(53217−80−2753217−8)

第1行と第4行、第2行と第5行がそれぞれ同じになります。ここで、主対角線方向に並ぶ成分の積をすべて足し、そこから副対角線方向に並ぶ成分の積の和を引きます。値を代入すると、次のようになります。

|A|=[5⋅7⋅7+1⋅(−2)⋅2+0⋅3⋅(−8)]−[2⋅7⋅0+(−8)⋅(−2)⋅5+7⋅3⋅1]=140

行列式の性質

  • 行列 A のある行または列に数 c ≠ 0 をかけて行列 A' が得られたとき、その行列式について c|A| = |A'| が成り立ちます。つまり、行列のある行を3倍してから行列式を求めたなら、もとの行列の行列式は、得られた結果を3で割れば求まります。

  • 第 i 行を何倍かして別の第 j 行に加えても、行列式は変わりません。列についても同様です。

  • 行列の少なくとも一つの行が零行なら、行列式は0です。

  • 正則行列の行列式はつねに0でなく、特異行列の行列式はつねに0です。

  • 階段形の行列の行列式は、主対角線上の成分の積に等しくなります。

  • 行列の二つの行を入れかえると、行列式の符号が変わります。

  • |A| = |AT|

  • |A · B| = |A| · |B|

  • |A−1| = 1/|A|

これらの性質から、行列式を求めるかなり簡単な手順が得られます。行列を階段形に変形し、主対角線上の成分をかければよいのです。やってみましょう。

A=(138250−225)

ふつうの行基本変形で、行列を階段形に変形します。

(138250−225)∼(1380−1−160821)∼(1380−1−1600−107)

あとは対角線上の成分をかけると、1 · (−1) · (−107) = 107 となります。

次の行列の行列式を求めなさい。

A=(3215275664104−311)

まず、いちばん小さい数を上にもってくるため、第1行と第2行を入れかえるとよいでしょう。ただし、符号を変えるのを忘れてはいけません。

|3215275664104−311|=−|2756321564104−311|

次に、うまく足し合わせられるように、第2行を2倍すると便利です。そのぶん、行列式全体に2分の1をかけるのを忘れないようにしましょう。

−|2756321564104−311|=−12|27566421064104−311|

あとはいつもどおりに進めます。

−12|27566421064104−311|=−12|27560−17−13−80−17−14−180−17−9−11|=−12|27560−17−13−800−1−10004−3|=−12|27560−17−13−800−1−10000−43|=−12⋅2⋅(−17)⋅(−1)⋅(−43)=731

余因子展開（ラプラス展開）

行列式を求めるもう一つの方法を考えたのは、ラプラスです。この方法を理解するには、もとの行列から特別な小行列をつくる方法を知っておく必要があります。行列 A が与えられたとき、行列 A から一つの行と一つの列を取り除いてできる小行列をつくります。この新しい行列を SijA と書きます。これは、行列 A から第 i 行と第 j 列を取り除いたことを表します。例を見てみましょう。

A=(138250−225)

小行列 S12A は次のような形になります。

S12A=(20−25)

さらに、小行列式という概念を定義します。これは、上で定義した小行列 SijA の行列式にほかなりません。小行列式は同じように、ただし文字 M を使って MijA=|SijA| と書きます。MijA は成分 aij の小行列式ともよばれます。

これらの小行列式を使うと、もとの行列の行列式を求められます。まず、行列の行（または列）を一つ選びます。次に、その行の各成分について小行列式を求めます。こうして、行の成分の個数と同じ数の小行列式が得られます。すると、n × n 型の行列 A の行列式を、これらの小行列式に重みをつけた和として表せます。

|A|=∑j=1n(−1)i+j⋅aij⋅MijA

ここで i は選んだ行の番号です。変数 i について和をとる場合は、変数 j、つまり列の番号を固定して選びます。符号をつけた小行列式を余因子といい、この式を選んだ行に関する余因子展開（ラプラス展開）といいます。

実際には次のようにします。行列式を求めたい行列があるとします。行列の列（または行）を一つとり、その列の各成分について小行列式を求め、符号 (−1)i + j をつけます。そして、それぞれの小行列式に対応する成分をかけて、すべて足します。小行列式 MijA にはさらに成分 aij をかけるので、その成分が0だと好都合です。その項の計算が不要になり、手間が省けるからです。次の行列の行列式を求めてみましょう。

A=(548610239)

この行列には0が一つだけあるので、第2行か第3列で展開するのが理想的です。ここでは行を選びます。まず、小行列をとり出します。

S21A=(4839)S22A=(5829)S23A=(5423)

次に行列式を求めて、小行列式を得ます。2次の行列なら簡単です。

M21A=|4839|=12M22A=|5829|=29M23A=|5423|=7

これで、i = 2 として公式に代入できます。

|A|=(−1)2+1⋅6⋅|4839|+(−1)2+2⋅1⋅|5829|+(−1)2+3⋅|5423|⋅0=(−1)2+1⋅6⋅12+(−1)2+2⋅1⋅29+(−1)2+3⋅7⋅0=−43

第2行の最後の成分が0なので、3つ目の項も0になったことに注目しましょう。もう一つ例を見てみましょう。

次の行列の行列式を、余因子展開を使って求めなさい。

A=(723266678109105733)

第3列には3の倍数ばかりが並んでいます。これを利用してこの列に0をつくり、あとで余因子展開を使う準備をします。第2行に第1行の −2 倍を、第3行に第1行の −3 倍を、第4行に −1 倍を加えます。

(723266678109105733)∼(7232−8203−13404−2501)

これで行列式の値は変わりませんが、計算が楽になります。0でない成分が一つしかない第3列で展開します。展開に残るのは、第1行の3番目の成分の小行列式だけです。

|723266678109105733|=(−1)1+3⋅3|−823−1344−251|=3|−823−1344−251|

新しい行列の第3列のいちばん下に1があります。これを利用して、この列に0をつくります。

(−823−1344−251)∼(−2−130−5−160−251)

再び第3列で展開します。ここでも0でない成分は一つだけです。

3|−2−130−5−160−251|=3⋅((−1)3+3⋅1⋅|−2−13−5−16|)=3⋅|−2−13−5−16|

あとはいつもどおりに計算すると、3 · (32 − 65) = −99 となります。