Reticulados

Um reticulado é um conjunto ordenado ao qual se acrescenta a propriedade de que, para quaisquer dois elementos desse reticulado, devem existir o supremo e o ínfimo, que também pertencem a esse reticulado.

Conjuntos das cotas superiores e inferiores

No começo, temos um conjunto M no qual está definida uma ordem ≤. Essa ordem pode ser qualquer uma, mas deve cumprir as condições de uma relação de ordem.

Em seguida, tomamos um elemento a do conjunto M. O conjunto das cotas superiores do elemento a no conjunto M é definido como todos os x ∈ M que são maiores ou iguais a a, ou seja, para os quais vale a ≤ x.

Se tomarmos como conjunto os números naturais não nulos e como elemento a = 7, então o conjunto das cotas superiores é o conjunto de números {7, 8, 9, …}. Nos números reais, obteríamos o intervalo [7, +∞[.

Se tomássemos o conjunto M = 2^ℕ* — trata-se do conjunto das partes, isto é, do conjunto de todos os subconjuntos dos números naturais não nulos. São todos os conjuntos que podemos construir com números naturais. A ordem será gerada pela relação de subconjunto. Assim, vale {3, 5} ≤ {3, 4, 5} etc.

O conjunto das cotas superiores do conjunto {1, 2, 3, 4} será formado por todos os conjuntos que contêm os elementos 1, 2, 3, 4. Por exemplo, o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} ou {1, 2, 3, 4, 2323, 454645}. No conjunto das cotas superiores estará também o próprio conjunto {1, 2, 3, 4}.

O conjunto das cotas inferiores é definido de modo análogo — contém os elementos que são menores ou iguais ao elemento a. Para a = 7 e M os naturais não nulos, obtemos o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. São os números naturais menores ou iguais a sete.

Para o conjunto {1, 2, 3, 4}, obtemos todos os subconjuntos desse conjunto.

Cotas superiores e inferiores de vários elementos

Na parte anterior, definimos os conjuntos de cotas para um elemento. Mas também podemos defini-los para vários elementos. Se temos um conjunto M e os elementos a, b, então o conjunto das cotas superiores comuns conterá os elementos que são maiores ou iguais aos dois elementos a e b ao mesmo tempo. Em outras palavras, calculamos os conjuntos das cotas superiores dos dois elementos e calculamos a interseção deles. Assim obtemos os elementos que são certamente maiores que a e, ao mesmo tempo, maiores que b.

Continuando com os números naturais: a = 3, b = 5. Todos os elementos maiores ou iguais a a formam o conjunto {3, 4, 5, 6, …} e os maiores ou iguais a b: {5, 6, 7, 8, …}. Agora fazemos a interseção e obtemos novamente o conjunto {5, 6, 7, 8, …}. Se temos um conjunto totalmente ordenado, basta descobrir o maior dos dois elementos e calcular o conjunto das suas cotas superiores.

No caso dos conjuntos, já não será tão simples. Podemos tentar calcular o conjunto das cotas inferiores dos conjuntos a = {1, 2, 3} e b = {2, 3, 4}. São todos os conjuntos que são, ao mesmo tempo, subconjuntos de a e de b. O conjunto {1, 2, 3}, por exemplo, é subconjunto de a? Sim. É também subconjunto de b? Não. Esse conjunto não estará no conjunto das cotas inferiores.

Podemos tentar ver qual será o maior conjunto que é subconjunto de a e de b. Será, evidentemente, o conjunto {2, 3}, que é o conjunto que resulta da interseção dos conjuntos a ∩ b. Ele estará no conjunto das cotas inferiores. E todos os subconjuntos desse conjunto também. Porque, se, por exemplo, ∅ ⊆ {2, 3} e, ao mesmo tempo, {2, 3} ⊆ a ∧ {2, 3} ⊆ b, então certamente também ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b. Isso decorre da transitividade.

Por fim, vamos definir o conjunto das cotas superiores e inferiores para um conjunto inteiro, e não apenas para um par de elementos. Considere um conjunto M e um conjunto A ⊆ M para o qual queremos calcular o conjunto das cotas superiores e inferiores. Então vale:

$$\begin{array}{rcl}S(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ I(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Supremo e ínfimo

Com os conjuntos de cotas, podemos definir facilmente o ínfimo e o supremo. Se temos um conjunto M e um elemento a ∈ M, então o supremo e o ínfimo do elemento a são novamente o mesmo elemento a.

Mas, se queremos descobrir o supremo de dois elementos de M, os elementos a, b, precisamos proceder de outro modo. O supremo dos elementos a, b, representado por a ∨ b ou sup(a, b), é igual ao menor elemento do conjunto das cotas superiores dos elementos a, b. Ou seja, calculamos todos os elementos que são maiores ou iguais aos elementos a, b e, entre esses elementos, tomamos o menor. Não o minimal, o menor. O menor elemento, em geral, pode não existir, então o supremo também, em geral, pode não existir.

Se calculamos o ínfimo, primeiro encontramos o conjunto das cotas inferiores dos dois elementos e depois encontramos o maior elemento.

Exemplo: já sabemos que o conjunto das cotas superiores dos números 3 e 5 é o conjunto {5, 6, 7, …}. O menor elemento é igual a cinco. Vale, então, que sup(3, 5) = 5.

Sabemos também que o conjunto das cotas inferiores dos conjuntos a = {1, 2, 3} e b = {2, 3, 4} é igual ao conjunto de todos os subconjuntos do conjunto {2, 3}. Isso corresponde aos conjuntos: {2, 3}, {2}, {3}, ∅. O maior deles é justamente o conjunto {2, 3}. Esse conjunto é, portanto, o ínfimo dos conjuntos a, b. Escrevemos a ∧ b = {2, 3} ou inf(a, b) = {2, 3}.

Definição de reticulado

Um reticulado S é um conjunto ordenado em que, para quaisquer dois elementos a, b ∈ S, existem o supremo e o ínfimo, e esse ínfimo e esse supremo pertencem ao conjunto S. Podemos escrever, então, que um conjunto ordenado S é um reticulado se

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{e}inf(a,b)\in S$$

Um exemplo simples de reticulado são os números reais com a ordem usual. Vale sup(a, b) = max(a, b) e inf(a, b) = min(a, b), que são sempre números reais.

Um sistema de conjuntos com a ordem dada pela relação de ser subconjunto, como o que definimos antes, também é um reticulado. Vale sup(a, b) = a ∪ b e inf(a, b) = a ∩ b. Esses são, novamente, conjuntos do sistema de conjuntos.

Se, como sistema de conjuntos S, tomarmos todos os subconjuntos de dois elementos dos números naturais não nulos (por exemplo, {1, 2}, {7, 19}, …), então esse conjunto não é um reticulado, porque, por exemplo, sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4} e o conjunto {1, 2, 3, 4} não é elemento do conjunto de todos os subconjuntos de dois elementos dos números naturais não nulos.