Latici

Laticea este o mulțime ordonată care are în plus proprietatea că, pentru orice două elemente ale ei, există supremum și infimum, iar acestea aparțin și ele laticii respective.

Conul superior și conul inferior

La început avem o mulțime M, pe care este definită o relație de ordine ≤. Această ordine poate fi oarecare, dar trebuie să îndeplinească condițiile din articolul despre relația de ordine.

Luăm apoi un element a din mulțimea M. Conul superior al lui a în mulțimea M este format din toate elementele x ∈ M care sunt mai mari sau egale cu a, adică pentru care a ≤ x. Cu alte cuvinte, este mulțimea majoranților lui a.

Dacă luăm ca mulțime numerele naturale și ca element a = 7, conul superior este mulțimea numerelor {7, 8, 9, …}. Pe numerele reale am obține intervalul [7, +∞).

Să luăm acum mulțimea M = 2^ℕ – este mulțimea părților lui ℕ, adică mulțimea tuturor submulțimilor numerelor naturale. Sunt deci toate mulțimile pe care le putem construi cu ajutorul numerelor naturale. Ordinea va fi dată de relația de incluziune. Avem astfel {3, 5} ≤ {3, 4, 5} și așa mai departe.

Conul superior al mulțimii {1, 2, 3, 4} va fi format din toate mulțimile care conțin elementele 1, 2, 3, 4. De exemplu mulțimea {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} sau {1, 2, 3, 4, 2323, 454645}. În conul superior se află și mulțimea {1, 2, 3, 4} însăși.

Conul inferior se definește asemănător – conține elementele care sunt mai mici sau egale cu elementul a (adică minoranții lui a). Pentru a = 7 și M mulțimea numerelor naturale obținem mulțimea {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Sunt numerele naturale mai mici sau egale cu șapte.

Pentru mulțimea {1, 2, 3, 4} obținem toate submulțimile acestei mulțimi.

Conul superior și conul inferior al mai multor elemente

În secțiunea precedentă am definit conurile pentru un singur element. Le putem însă defini și pentru mai multe elemente. Dacă avem o mulțime M și elementele a, b, conul lor superior comun va conține elementele care sunt mai mari sau egale atât cu a, cât și cu b, simultan. Altfel spus, determinăm conurile superioare ale celor două elemente și facem intersecția lor. Obținem astfel elementele care sunt sigur mai mari decât a și, în același timp, mai mari decât b.

Să rămânem la numerele naturale: a = 3, b = 5. Elementele mai mari sau egale cu a formează mulțimea {3, 4, 5, 6, …}, iar cele mai mari sau egale cu b formează {5, 6, 7, 8, …}. Facem acum intersecția și obținem din nou mulțimea {5, 6, 7, 8, …}. Dacă mulțimea este total ordonată, este suficient să găsim cel mai mare dintre cele două elemente și să îi determinăm conul superior.

În cazul mulțimilor lucrurile nu mai sunt chiar atât de simple. Putem încerca să determinăm conul inferior al mulțimilor a = {1, 2, 3} și b = {2, 3, 4}. Sunt toate mulțimile care sunt în același timp submulțimi ale lui a și ale lui b. Este, de exemplu, mulțimea {1, 2, 3} o submulțime a lui a? Da. Este și submulțime a lui b? Nu. Această mulțime nu va face parte din conul inferior.

Putem încerca să vedem care este cea mai mare mulțime care este submulțime atât a lui a, cât și a lui b. Este, evident, mulțimea {2, 3}, adică mulțimea care rezultă din intersecția a ∩ b. Ea se află în conul inferior. La fel și toate submulțimile ei. Dacă, de exemplu, ∅ ⊆ {2, 3} și în același timp {2, 3} ⊆ a ∧ {2, 3} ⊆ b, atunci sigur și ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b. Rezultă din tranzitivitate.

În sfârșit, definim conul superior și conul inferior pentru o mulțime întreagă, nu doar pentru o pereche de elemente. Fie o mulțime M și o mulțime A ⊆ M pentru care vrem să determinăm conul superior și conul inferior. Atunci:

$$\begin{array}{rcl}{C}_s(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ C_i(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Supremum și infimum

Cu ajutorul conurilor putem defini ușor infimumul și supremumul. Dacă avem o mulțime M și un element a ∈ M, atunci supremumul și infimumul elementului a sunt din nou chiar elementul a.

Dacă vrem însă supremumul a două elemente din M, adică al elementelor a, b, trebuie să procedăm altfel. Supremumul elementelor a, b, notat a ∨ b sau sup(a, b), este egal cu cel mai mic element al conului superior al elementelor a, b. Deci determinăm toate elementele care sunt mai mari sau egale cu a și b și dintre ele luăm elementul cel mai mic. Nu unul minimal, ci cel mai mic. În general, cel mai mic element nu există neapărat, deci nici supremumul nu există neapărat.

Dacă determinăm infimumul, găsim mai întâi conul inferior al celor două elemente și apoi căutăm cel mai mare element.

Exemplu: știm deja că conul superior al numerelor 3 și 5 este mulțimea {5, 6, 7, …}. Cel mai mic element este egal cu cinci. Avem deci sup(3, 5) = 5.

Mai știm că conul inferior al mulțimilor a = {1, 2, 3} și b = {2, 3, 4} este egal cu mulțimea tuturor submulțimilor mulțimii {2, 3}. Acestea sunt mulțimile: {2, 3}, {2}, {3}, ∅. Cea mai mare dintre ele este chiar mulțimea {2, 3}. Această mulțime este deci infimumul mulțimilor a, b. Scriem a ∧ b = {2, 3} sau inf(a, b) = {2, 3}.

Definiția laticii

O latice S este o mulțime ordonată în care pentru oricare două elemente a, b ∈ S există supremum și infimum, iar acest infimum și acest supremum aparțin mulțimii S. Putem scrie deci că mulțimea ordonată S este latice dacă

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{și}inf(a,b)\in S$$

Un exemplu simplu de latice sunt numerele reale cu ordinea obișnuită. Avem sup(a, b) = max(a, b) și inf(a, b) = min(a, b), care sunt întotdeauna numere reale.

Un sistem de mulțimi ordonat prin relația de incluziune, așa cum l-am introdus mai devreme, este de asemenea o latice. Avem sup(a, b) = a ∪ b și inf(a, b) = a ∩ b. Acestea sunt din nou mulțimi din sistemul de mulțimi.

Dacă luăm ca sistem de mulțimi S toate submulțimile cu două elemente ale numerelor naturale (de exemplu {1, 2}, {7, 19}, …), atunci această mulțime nu este latice, deoarece, de exemplu, sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4}, iar mulțimea {1, 2, 3, 4} nu este element al mulțimii tuturor submulțimilor cu două elemente ale numerelor naturale.