Kafesler

Kafes, şu özelliğe de sahip olan sıralı bir kümedir: kafesin herhangi iki elemanı için, yine o kafese ait olan supremum ve infimum bulunmalıdır.

Üst ve Alt Sınırlar Kümesi

Başlangıçta üzerinde bir ≤ sıralaması tanımlı bir M kümemiz var. Bu sıralama herhangi biri olabilir, ama sıralama bağıntısının koşullarını sağlamalıdır.

Sonra M kümesinden bir a elemanı alalım. a elemanının M kümesindeki üst sınırlar kümesini, a’dan büyük ya da ona eşit olan bütün x ∈ M elemanları olarak tanımlarız; yani bunlar için a ≤ x geçerlidir.

Küme olarak pozitif tam sayıları ve a = 7 elemanını alırsak üst sınırlar kümesi {7, 8, 9, …} sayılar kümesidir. Gerçek sayılarda ise [7, ∞) aralığını elde ederdik.

M = 2^ℤ+ kümesini alalım — bu bir kuvvet kümesidir, yani pozitif tam sayıların bütün alt kümelerinin kümesi. Dolayısıyla pozitif tam sayılarla kurabileceğimiz bütün kümelerden oluşur. Sıralama, alt küme bağıntısıyla oluşturulur. Yani {3, 5} ≤ {3, 4, 5} vb. geçerlidir.

{1, 2, 3, 4} kümesinin üst sınırlar kümesi, 1, 2, 3, 4 elemanlarını içeren bütün kümelerden oluşur. Örneğin {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} ya da {1, 2, 3, 4, 2323, 454645} kümesi. Üst sınırlar kümesinde {1, 2, 3, 4} kümesinin kendisi de vardır.

Alt sınırlar kümesini de benzer biçimde tanımlarız — a elemanından küçük ya da ona eşit elemanları içerir. a = 7 ve M pozitif tam sayılar kümesi için {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesini elde ederiz. Bunlar, yediden küçük ya da yediye eşit pozitif tam sayılardır.

{1, 2, 3, 4} kümesi için bu kümenin bütün alt kümelerini elde ederiz.

Birden Fazla Elemanın Üst ve Alt Sınırlar Kümesi

Önceki bölümde sınırlar kümesini tek bir eleman için tanımladık. Ama sınırlar kümesini birden fazla eleman için de tanımlayabiliriz. M kümemiz ve a, b elemanlarımız varsa bunların ortak üst sınırlar kümesi, hem a hem de b elemanından aynı anda büyük ya da onlara eşit olan elemanları içerir. Başka bir deyişle iki elemanın üst sınırlar kümelerini hesaplar ve kesişimlerini alırız. Böylece kesinlikle hem a’dan hem de b’den büyük olan elemanları elde ederiz.

Pozitif tam sayılarda kalalım: a = 3, b = 5. a’dan büyük ya da ona eşit bütün elemanlar {3, 4, 5, 6, …} kümesine, b’den büyük ya da ona eşit olanlar {5, 6, 7, 8, …} kümesine eşittir. Şimdi kesişimlerini alırsak yine {5, 6, 7, 8, …} kümesini elde ederiz. Tam sıralı bir kümemiz varsa bu iki elemandan büyük olanı bulup onun üst sınırlar kümesini hesaplamak yeter.

Kümelerde iş bu kadar basit olmayacak. Alt sınırlar kümesini şu kümeler için hesaplamayı deneyebiliriz: a = {1, 2, 3} ve b = {2, 3, 4}. Bunlar, aynı anda hem a’nın hem de b’nin alt kümesi olan bütün kümelerdir. Örneğin {1, 2, 3} kümesi a’nın alt kümesi mi? Evet. b’nin de alt kümesi mi? Hayır. Bu küme alt sınırlar kümesinde olmayacak.

Hem a’nın hem de b’nin alt kümesi olan en büyük kümenin hangisi olacağına bakmayı deneyebiliriz. Besbelli bu, a ∩ b kesişimiyle oluşan {2, 3} kümesi olacak. Alt sınırlar kümesinde bulunur. Bu kümenin bütün alt kümeleri de bulunur. Çünkü örneğin ∅ ⊂ {2, 3} ve aynı zamanda {2, 3} ⊂ a ∧ {2, 3} ⊂ b ise elbette ∅ ⊂ a ∧ ∅ ⊂ b de olur. Bu, geçişkenlikten çıkar.

Son olarak üst ve alt sınırlar kümesini yalnızca eleman çifti için değil, bütün küme için tanımlayalım. M kümemiz ve üst ile alt sınırlar kümesini hesaplamak istediğimiz bir A ⊂ M kümemiz olsun. O zaman şu geçerlidir:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{Ü}\mathrm{st}(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ \mathrm{Alt}(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Supremum ve İnfimum

Sınırlar kümeleri yardımıyla infimumu ve supremumu kolayca tanımlayabiliriz. M kümemiz ve a ∈ M elemanımız varsa a elemanının hem supremumu hem de infimumu yine aynı a elemanıdır.

Ama M kümesinden iki elemanın, a ve b elemanlarının supremumunu bulmak istiyorsak iş değişir. a, b elemanlarının supremumu — a ∨ b ya da sup(a, b) ile gösteririz — a, b elemanlarının üst sınırlar kümesinin en küçük elemanına eşittir. Yani a ve b elemanlarından büyük ya da onlara eşit bütün elemanları hesaplarız ve bu elemanlardan en küçüğünü alırız. Minimal olanı değil, en küçüğü. En küçük eleman genel olarak bulunmayabilir, dolayısıyla supremum da genel olarak bulunmayabilir.

İnfimumu hesaplıyorsak önce iki elemanın alt sınırlar kümesini buluruz, sonra en büyük elemanı buluruz.

Örnek: 3 ve 5 sayılarının üst sınırlar kümesinin {5, 6, 7, …} kümesi olduğunu zaten biliyoruz. En küçük eleman beşe eşittir. Yani sup(3, 5) = 5 geçerlidir.

Ayrıca a = {1, 2, 3} ve b = {2, 3, 4} kümelerinin alt sınırlar kümesinin, {2, 3} kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine eşit olduğunu biliyoruz. Bu, şu kümelere karşılık gelir: {2, 3}, {2}, {3}, ∅. Bunların en büyük kümesi tam olarak {2, 3} kümesidir. Yani bu küme, a, b kümelerinin infimumudur. Bunu a ∧ b = {2, 3} ya da inf(a, b) = {2, 3} diye yazarız.

Kafesin Tanımı

S kafesi, her a, b ∈ S eleman çifti için supremum ve infimumun bulunduğu, üstelik bu infimum ve supremumun S kümesine ait olduğu sıralı bir kümedir. Yani sıralı bir S kümesinin kafes olması için şunun sağlanması gerektiğini yazabiliriz:

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{ve}inf(a,b)\in S$$

Kafese basit bir örnek, olağan sıralamalı gerçek sayılardır. sup(a, b) = max(a, b) ve inf(a, b) = min(a, b) geçerlidir; bunlar her zaman gerçek sayılardır.

Daha önce kurduğumuz gibi alt küme olma bağıntısına göre sıralanmış bir küme sistemi de bir kafestir. sup(a, b) = a ∪ b ve inf(a, b) = a ∩ b geçerlidir. Bunlar yine küme sistemindeki kümelerdir.

S küme sistemi olarak pozitif tam sayıların bütün iki elemanlı alt kümelerini alırsak (örneğin {1, 2}, {7, 19}, …) bu küme bir kafes değildir, çünkü örneğin sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4} olur ve {1, 2, 3, 4} kümesi, pozitif tam sayıların bütün iki elemanlı alt kümelerinin kümesinin elemanı değildir.