Retículos

Un retículo es un conjunto ordenado al que se añade la propiedad de que, para cada par de elementos del retículo, deben existir el supremo y el ínfimo, que también pertenecen a ese retículo.

Conjunto de cotas superiores e inferiores

Partimos de un conjunto M en el que tenemos definido un orden ≤. Este orden puede ser cualquiera, pero debe cumplir las condiciones de una relación de orden.

Tomemos ahora un elemento a del conjunto M. El conjunto de cotas superiores del elemento a en M lo definimos como todos los x ∈ M que son mayores o iguales que a, es decir, para los que se cumple a ≤ x.

Si como conjunto tomamos los números naturales y como elemento a = 7, el conjunto de cotas superiores es el conjunto de números {7, 8, 9, …}. En los números reales obtendríamos el intervalo [7, +∞).

Si tomáramos el conjunto M = 2^ℕ (se trata del conjunto potencia, es decir, del conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales; son, pues, todos los conjuntos que podemos construir con los números naturales), el orden vendrá generado por la relación de inclusión. Se cumple así que {3, 5} ≤ {3, 4, 5}, etcétera.

El conjunto de cotas superiores del conjunto {1, 2, 3, 4} serán todos los conjuntos que contienen los elementos 1, 2, 3, 4. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} o {1, 2, 3, 4, 2323, 454645}. En el conjunto de cotas superiores estará también el propio conjunto {1, 2, 3, 4}.

El conjunto de cotas inferiores lo definimos de manera análoga: contiene los elementos que son menores o iguales que el elemento a. Para a = 7 y M los números naturales obtenemos el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Son los números naturales que son menores o iguales que siete.

Para el conjunto {1, 2, 3, 4} obtenemos todos los subconjuntos de este conjunto.

Cotas superiores e inferiores de varios elementos

En el apartado anterior hemos definido estos conjuntos para un solo elemento. Pero podemos definirlos también para varios elementos. Si tenemos un conjunto M y los elementos a, b, su conjunto común de cotas superiores contendrá los elementos que son mayores o iguales que ambos elementos a y b a la vez. Dicho de otro modo, calculamos los conjuntos de cotas superiores de los dos elementos y hallamos su intersección. Así obtenemos los elementos que son mayores que a y, al mismo tiempo, mayores que b.

Quedémonos con los números naturales: a = 3, b = 5. Todos los elementos mayores o iguales que a forman el conjunto {3, 4, 5, 6, …} y los mayores o iguales que b, el conjunto {5, 6, 7, 8, …}. Hacemos ahora la intersección y obtenemos de nuevo el conjunto {5, 6, 7, 8, …}. Si tenemos un conjunto totalmente ordenado, basta averiguar cuál de los dos elementos es el mayor y calcular su conjunto de cotas superiores.

En el caso de los conjuntos ya no será tan sencillo. Podemos intentar calcular el conjunto de cotas inferiores de los conjuntos a = {1, 2, 3} y b = {2, 3, 4}. Son todos los conjuntos que son a la vez subconjuntos de a y de b. ¿Es, por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3} un subconjunto de a? Sí. ¿Es también un subconjunto de b? No. Este conjunto no estará en el conjunto de cotas inferiores.

Podemos intentar ver cuál será el mayor conjunto que sea subconjunto de a y de b. Será, evidentemente, el conjunto {2, 3}, que es el conjunto que resulta de la intersección a ∩ b. Este sí estará en el conjunto de cotas inferiores. Y todos los subconjuntos de este conjunto también. Porque si, por ejemplo, ∅ ⊆ {2, 3} y, al mismo tiempo, {2, 3} ⊆ a ∧ {2, 3} ⊆ b, entonces seguro que también ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b. Se deduce de la transitividad.

Por último, definamos los conjuntos de cotas superiores e inferiores para todo un conjunto, no solo para un par de elementos. Tomemos un conjunto M y un conjunto A ⊆ M para el que queremos calcular el conjunto de cotas superiores e inferiores. Entonces se cumple:

$$\begin{array}{rcl}{C}_s(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ C_i(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Supremo e ínfimo

Con ayuda de estos conjuntos podemos definir fácilmente el ínfimo y el supremo. Si tenemos un conjunto M y un elemento a ∈ M, el supremo y también el ínfimo del elemento a es de nuevo ese mismo elemento a.

Pero si queremos hallar el supremo de dos elementos de M, los elementos a, b, ya tenemos que proceder de otra manera. El supremo de los elementos a, b, que designamos a ∨ b o sup(a, b), es igual al elemento mínimo del conjunto de cotas superiores de a y b. Es decir, calculamos todos los elementos que son mayores o iguales que a y b y, de esos elementos, tomamos el menor. No el minimal, el mínimo. El elemento mínimo en general no tiene por qué existir, así que tampoco tiene por qué existir el supremo.

Si calculamos el ínfimo, primero hallamos el conjunto de cotas inferiores de ambos elementos y después buscamos el elemento máximo.

Ejemplo: ya sabemos que el conjunto de cotas superiores de los números 3 y 5 es el conjunto {5, 6, 7, …}. El elemento mínimo es igual a cinco. Se cumple así que sup(3, 5) = 5.

Además, sabemos que el conjunto de cotas inferiores de los conjuntos a = {1, 2, 3} y b = {2, 3, 4} es igual al conjunto de todos los subconjuntos del conjunto {2, 3}. Corresponde a los conjuntos {2, 3}, {2}, {3}, ∅. De ellos, el mayor es precisamente el conjunto {2, 3}. Este conjunto es, por tanto, el ínfimo de los conjuntos a, b. Lo designamos a ∧ b = {2, 3} o inf(a, b) = {2, 3}.

Definición de retículo

Un retículo S es un conjunto ordenado en el que para cada par de elementos a, b ∈ S existen el supremo y el ínfimo, y además tanto el ínfimo como el supremo pertenecen al conjunto S. Podemos escribir, pues, que un conjunto ordenado S es un retículo si

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{y}inf(a,b)\in S$$

Un ejemplo sencillo de retículo son los números reales con el orden habitual. Se cumple que sup(a, b) = max(a, b) y inf(a, b) = min(a, b), que son siempre números reales.

Un sistema de conjuntos con el orden dado por la relación de inclusión, como el que hemos introducido antes, también es un retículo. Se cumple que sup(a, b) = a ∪ b y inf(a, b) = a ∩ b. Son de nuevo conjuntos del sistema de conjuntos.

Si como sistema de conjuntos S tomamos todos los subconjuntos de dos elementos de los números naturales (por ejemplo, {1, 2}, {7, 19}, …), entonces este conjunto no es un retículo, porque, por ejemplo, sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4} y el conjunto {1, 2, 3, 4} no es un elemento del conjunto de todos los subconjuntos de dos elementos de los números naturales.