Reticoli
Un reticolo è un insieme ordinato con la proprietà aggiuntiva che per ogni due elementi del reticolo devono esistere l’estremo superiore e l’estremo inferiore, che appartengono anch’essi al reticolo.
Cono superiore e cono inferiore
All’inizio abbiamo un insieme M, su cui è definito un ordine ≤. Questo ordine può essere qualsiasi, ma deve soddisfare le condizioni di una relazione d’ordine.
Prendiamo poi un elemento a dell’insieme M. Il cono superiore dell’elemento a nell’insieme M lo definiamo come l’insieme di tutti gli x ∈ M maggiori o uguali ad a, cioè tali che vale a ≤ x.
Se come insieme prendiamo i numeri naturali diversi da zero e come elemento a = 7, il cono superiore è l’insieme di numeri {7, 8, 9, …}. Sui numeri reali otterremmo l’intervallo [7; +∞).
Se prendessimo l’insieme M = 2ℕ – si tratta dell’insieme delle parti, cioè dell’insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri naturali. Sono dunque tutti gli insiemi che possiamo costruire con i numeri naturali. L’ordine sarà generato dalla relazione di inclusione. Vale quindi che {3, 5} ≤ {3, 4, 5} e così via.
Il cono superiore dell’insieme {1, 2, 3, 4} sarà formato da tutti gli insiemi che contengono gli elementi 1, 2, 3, 4. Per esempio l’insieme {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} oppure {1, 2, 3, 4, 2323, 454645}. Nel cono superiore ci sarà anche lo stesso insieme {1, 2, 3, 4}.
Il cono inferiore lo definiamo in modo analogo: contiene gli elementi minori o uguali all’elemento a. Per a = 7 e M uguale ai numeri naturali diversi da zero otteniamo l’insieme {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Sono i numeri naturali minori o uguali a sette.
Per l’insieme {1, 2, 3, 4} otteniamo tutti i sottoinsiemi di questo insieme.
Cono superiore e inferiore di più elementi
Nella parte precedente abbiamo definito i coni per un solo elemento. Ma possiamo definire il cono anche per più elementi. Se abbiamo un insieme M e gli elementi a, b, il loro cono superiore comune conterrà gli elementi maggiori o uguali sia ad a sia a b contemporaneamente. In altre parole, calcoliamo i coni superiori di entrambi gli elementi e ne calcoliamo l’intersezione. Otteniamo così gli elementi che sono certamente maggiori di a e allo stesso tempo maggiori di b.
Rimaniamo sui numeri naturali: a = 3, b = 5. Tutti gli elementi maggiori o uguali ad a formano l’insieme {3, 4, 5, 6, …} e quelli maggiori o uguali a b: {5, 6, 7, 8, …}. Ora facciamo l’intersezione e otteniamo di nuovo l’insieme {5, 6, 7, 8, …}. Se abbiamo un insieme totalmente ordinato, basta trovare il maggiore dei due elementi e calcolare il suo cono superiore.
Nel caso degli insiemi non sarà così semplice. Possiamo provare a calcolare il cono inferiore degli insiemi: a = {1, 2, 3} e b = {2, 3, 4}. Sono tutti gli insiemi che sono sottoinsiemi sia di a sia di b. L’insieme {1, 2, 3} è per esempio un sottoinsieme di a? Sì. È anche un sottoinsieme di b? No. Questo insieme non apparterrà al cono inferiore.
Possiamo provare a vedere qual è il più grande insieme che sia sottoinsieme sia di a sia di b. Sarà evidentemente l’insieme {2, 3}, cioè l’insieme che si ottiene dall’intersezione degli insiemi a ∩ b. Appartiene al cono inferiore. E con esso tutti i sottoinsiemi di questo insieme. Perché se per esempio ∅ ⊆ {2, 3} e allo stesso tempo {2, 3} ⊆ a ∧ {2, 3} ⊆ b, allora certamente anche ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b. Segue dalla transitività.
Infine definiamo il cono superiore e inferiore per un intero insieme, non solo per una coppia di elementi. Siano dati un insieme M e un insieme A ⊆ M di cui vogliamo calcolare il cono superiore e inferiore. Allora vale:
Estremo superiore ed estremo inferiore
Con i coni possiamo definire facilmente l’estremo inferiore e l’estremo superiore. Dati un insieme M e un elemento a ∈ M, l’estremo superiore e l’estremo inferiore dell’elemento a sono di nuovo lo stesso elemento a.
Se invece vogliamo trovare l’estremo superiore di due elementi di M, gli elementi a, b, dobbiamo procedere diversamente. L’estremo superiore degli elementi a, b, che indichiamo con a ∨ b o sup(a, b), è uguale al minimo del cono superiore degli elementi a, b. Cioè calcoliamo tutti gli elementi maggiori o uguali agli elementi a, b e tra questi elementi prendiamo il minimo. Non un elemento minimale, il minimo. Il minimo in generale può non esistere, quindi in generale può non esistere nemmeno l’estremo superiore.
Se calcoliamo l’estremo inferiore, troviamo prima il cono inferiore di entrambi gli elementi e poi cerchiamo il massimo.
Esempio: sappiamo già che il cono superiore dei numeri 3 e 5 è l’insieme {5, 6, 7, …}. Il minimo è uguale a cinque. Vale quindi sup(3, 5) = 5.
Sappiamo inoltre che il cono inferiore degli insiemi a = {1, 2, 3} e b = {2, 3, 4} è uguale all’insieme di tutti i sottoinsiemi dell’insieme {2, 3}. Corrisponde agli insiemi: {2, 3}, {2}, {3}, ∅. Il più grande è proprio l’insieme {2, 3}. Questo insieme è quindi l’estremo inferiore degli insiemi a, b. Lo indichiamo con a ∧ b = {2, 3} oppure inf(a, b) = {2, 3}.
Definizione di reticolo
Un reticolo S è un insieme ordinato in cui per ogni due elementi a, b ∈ S esistono l’estremo superiore e l’estremo inferiore, e questo estremo inferiore e questo estremo superiore appartengono all’insieme S. Possiamo quindi scrivere che un insieme ordinato S è un reticolo se
Un semplice esempio di reticolo sono i numeri reali con l’ordine classico. Vale che sup(a, b) = max(a, b) e inf(a, b) = min(a, b), che sono sempre numeri reali.
Anche un sistema di insiemi con l’ordine dato dalla relazione di inclusione, come quello introdotto prima, è un reticolo. Vale che sup(a, b) = a ∪ b e inf(a, b) = a ∩ b. Sono di nuovo insiemi del sistema di insiemi.
Se come sistema di insiemi S prendiamo tutti i sottoinsiemi di due elementi dei numeri naturali (per esempio {1, 2}, {7, 19}, …), questo insieme non è un reticolo, perché per esempio sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4} e l’insieme {1, 2, 3, 4} non è un elemento dell’insieme di tutti i sottoinsiemi di due elementi dei numeri naturali.
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