Hálók

A háló olyan rendezett halmaz, amelyre még az is teljesül, hogy a háló bármely két eleméhez létezik szuprémum és infimum, és ezek szintén a hálóhoz tartoznak.

Felső és alsó kúp

Kiindulunk egy M halmazból, amelyen adott valamilyen ≤ rendezés. Ez a rendezés tetszőleges lehet, de eleget kell tennie a rendezési reláció feltételeinek.

Ezután vegyünk az M halmaz egy a elemét. Az a elem felső kúpját az M halmazban mindazok az x ∈ M elemek alkotják, amelyek nagyobbak a-nál vagy egyenlők vele, vagyis teljesül rájuk, hogy a ≤ x.

Ha a természetes számokat vesszük halmaznak, és a = 7, akkor a felső kúp a {7, 8, 9, …} számhalmaz. A valós számok körében a [7; +∞[ intervallumot kapnánk.

Vegyük most az M = 2^ℕ halmazt – ez a hatványhalmaz, tehát a természetes számok összes részhalmazának halmaza. Vagyis mindazok a halmazok, amelyeket a természetes számokból összeállíthatunk. A rendezést a részhalmaz-reláció adja. Így például {3, 5} ≤ {3, 4, 5} és így tovább.

A {1, 2, 3, 4} halmaz felső kúpját az összes olyan halmaz alkotja, amely tartalmazza az 1, 2, 3, 4 elemeket. Például a {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} vagy a {1, 2, 3, 4, 2323, 454645} halmaz. A felső kúpban benne van maga a {1, 2, 3, 4} halmaz is.

Az alsó kúpot hasonlóan definiáljuk – azok az elemek tartoznak bele, amelyek kisebbek a-nál vagy egyenlők vele. Ha a = 7, és M a pozitív egész számok halmaza, akkor az {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} halmazt kapjuk. Ezek azok a pozitív egész számok, amelyek hétnél kisebbek vagy vele egyenlők.

A {1, 2, 3, 4} halmaz esetén ennek a halmaznak az összes részhalmazát kapjuk.

Több elem felső és alsó kúpja

Az előző részben egyetlen elem kúpját definiáltuk. Kúpot azonban több elemhez is definiálhatunk. Ha adott az M halmaz és az a, b elemek, akkor a közös felső kúpjuk azokat az elemeket tartalmazza, amelyek egyszerre nagyobbak vagy egyenlők az a és a b elemnél is. Más szóval kiszámítjuk mindkét elem felső kúpját, és vesszük a metszetüket. Így olyan elemeket kapunk, amelyek biztosan nagyobbak a-nál, és egyben nagyobbak b-nél is.

Maradjunk a természetes számoknál: a = 3, b = 5. Az a-nál nagyobb vagy vele egyenlő elemek halmaza {3, 4, 5, 6, …}, a b-nél nagyobbaké vagy vele egyenlőké pedig {5, 6, 7, 8, …}. Most vesszük a metszetüket, amiből ismét a {5, 6, 7, 8, …} halmaz adódik. Ha teljesen rendezett halmazunk van, akkor elég megkeresni a két elem közül a nagyobbikat, és kiszámítani annak felső kúpját.

Halmazok esetén ez már nem lesz ilyen egyszerű. Próbáljuk meg kiszámítani az a = {1, 2, 3} és b = {2, 3, 4} halmazok alsó kúpját. Ezek mindazok a halmazok, amelyek egyszerre részhalmazai a-nak és b-nek is. Részhalmaza-e például az {1, 2, 3} halmaz a-nak? Igen. Részhalmaza b-nek is? Nem. Ez a halmaz tehát nem lesz az alsó kúpban.

Nézzük meg, melyik lesz a legnagyobb halmaz, amely részhalmaza a-nak is és b-nek is. Nyilván a {2, 3} halmaz, amely az a ∩ b metszetként adódik. Ez benne lesz az alsó kúpban. És ennek a halmaznak az összes részhalmaza is. Mert ha például ∅ ⊆ {2, 3}, és egyúttal {2, 3} ⊆ a ∧ {2, 3} ⊆ b, akkor biztosan ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b is teljesül. Ez a tranzitivitásból következik.

Végül definiáljuk a felső és az alsó kúpot egy egész halmazra, nem csak egy elempárra. Legyen adott az M halmaz és egy A ⊆ M halmaz, amelynek ki akarjuk számítani a felső és az alsó kúpját. Ekkor:

$$\begin{array}{rcl}U(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ L(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Szuprémum és infimum

A kúpok segítségével könnyen definiálhatjuk az infimumot és a szuprémumot. Ha adott az M halmaz és egy a ∈ M elem, akkor az a elem szuprémuma is, infimuma is ugyanaz az a elem.

Ha viszont az M két elemének, az a és b elemnek a szuprémumát akarjuk megtudni, akkor másként kell eljárnunk. Az a, b elemek szuprémuma, amelynek jele a ∨ b vagy sup(a, b), megegyezik az a, b elemek felső kúpjának legkisebb elemével. Tehát kiszámítjuk az összes olyan elemet, amely nagyobb vagy egyenlő, mint az a, b elemek, és ezek közül kiválasztjuk a legkisebbet. Nem a minimálisat, hanem a legkisebbet. Legkisebb elem általában nem feltétlenül létezik, így szuprémum sem létezik feltétlenül.

Ha az infimumot számítjuk, akkor először megkeressük mindkét elem alsó kúpját, majd megkeressük a legnagyobb elemet.

Példa: már tudjuk, hogy a 3 és 5 számok felső kúpja az {5, 6, 7, …} halmaz. A legkisebb eleme az öt. Tehát sup(3, 5) = 5.

Azt is tudjuk, hogy az a = {1, 2, 3} és b = {2, 3, 4} halmazok alsó kúpja egyenlő a {2, 3} halmaz összes részhalmazának halmazával. Ezek a halmazok: {2, 3}, {2}, {3}, ∅. A legnagyobb közülük éppen a {2, 3} halmaz. Ez a halmaz tehát az a, b halmazok infimuma. Jelölése: a ∧ b = {2, 3} vagy inf(a, b) = {2, 3}.

A háló definíciója

Az S háló olyan rendezett halmaz, amelyben bármely két a, b ∈ S elemhez létezik szuprémum és infimum, és ez az infimum és szuprémum az S halmazhoz tartozik. Azt írhatjuk tehát, hogy az S rendezett halmaz akkor háló, ha

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{és}inf(a,b)\in S$$

A háló egyszerű példája a valós számok halmaza a szokásos rendezéssel. Itt sup(a, b) = max(a, b) és inf(a, b) = min(a, b), ezek pedig mindig valós számok.

A halmazrendszer a „részhalmaza” reláció szerinti rendezéssel, ahogyan korábban bevezettük, szintén háló. Ekkor sup(a, b) = a ∪ b és inf(a, b) = a ∩ b. Ezek ismét a halmazrendszer halmazai.

Ha az S halmazrendszernek a természetes számok összes kételemű részhalmazát vesszük (például {1, 2}, {7, 19}, …), akkor ez a halmaz nem háló, mert például sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4}, és az {1, 2, 3, 4} halmaz nem eleme a természetes számok kételemű részhalmazaiból álló rendszernek.