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自然数

自然数は、ふだんの生活でいちばんよく出てくる数です。正の整数、つまり1, 2, 3, 4, …のことです。

記号

自然数は、正の整数1, 2, 3, 4, …からなる集合をつくります。この集合は、ふつう左の縦線を二重にした文字Nを使って、ℕ と書きます。英語の natural numbers（自然数）からきています。

自然数の集合に0を含めることもあります。区別が必要なときは、ふつう0を含まない集合をそのまま ℕ で表し、0も含めたいときは、ℕ0 のように添え字に0をつけます。また、0を含まない自然数であることを強調するために、プラスをつけた ℕ+ という書き方もよく使われます。なお、日本の学校では自然数に0を含めず、0も含めたいときは「0以上の整数」と言葉で書きます。

自然数は、おもに何かの量を表すとき（「家にいすが3脚ある」「公園にベンチが30脚ある」など）や、順番を表すとき（「月面に立った最初の人」「カナダは世界で2番目に広い国」など）に使います。

性質

自然数には、次のような興味深い性質があります。

  1. 自然数の集合は無限集合ですが、可算です。つまり、すべての自然数を数列として順にならべることができます。
  • 自然数は、たし算とかけ算について閉じています。つまり、どんな2つの自然数をたしても、かけても、また自然数になります。
  • ひき算については閉じていません。小さい数から大きい数をひくと、負の数になるからです。
  • 同じように、割り算についても閉じていません。たとえば 7/2 は自然数ではありません。

余りのある割り算

前の節で、自然数は割り算について閉じていないことを見ました。しかし、余りのある割り算という演算を定義することができます。これはみなさんよく知っているでしょう。7/2 を計算すると3.5になります。余りのある割り算をすると、商が3で余りが1になります。つまり、3 · 2 を計算して余りをたすと、7にもどります。3 · 2 + 1 = 7 です。

自然数はこの演算についても閉じていませんが、0を含めた自然数（0以上の整数）なら閉じています。つまり、商も余りも集合 ℕ0 に含まれます。

余りのある割り算の定義は、次のとおりです。

a=bq+r;a,q,r∈N0,b∈N,r<b

この定義は割り算 a÷b を表していて、r を余り、q を商といいます。条件はどういう意味でしょうか。ここでは0を含めた自然数で考えていますが、0で割ることはできないので、b は0を含まない集合から選びます。

たとえば、19 ÷ 5の計算なら、a = 19、b = 5 です。次のように表せます。

19=5⋅3+4

つまり、q = 3 が商で、r = 4 が余りです。

参考リンク