Tralies

Een tralie is een geordende verzameling met de extra eigenschap dat voor elke twee elementen van die tralie een supremum en een infimum moeten bestaan die ook tot die tralie behoren.

Bovenste en onderste kegel

Aan het begin hebben we een verzameling M waarop een ordening ≤ is gedefinieerd. Deze ordening mag willekeurig zijn, maar moet voldoen aan de voorwaarden van een ordeningsrelatie.

Verder nemen we een element a uit de verzameling M. De bovenste kegel van het element a in de verzameling M definiëren we als alle x ∈ M die groter dan of gelijk aan a zijn, waarvoor dus geldt a ≤ x.

Als we als verzameling de natuurlijke getallen nemen en als element a = 7, dan is de bovenste kegel de verzameling getallen {7, 8, 9, …}. Op de reële getallen zouden we het interval [7, → ⟩ krijgen.

Als we de verzameling M = 2^ℕ nemen — dat is de machtsverzameling, dus de verzameling van alle deelverzamelingen van de natuurlijke getallen. Het zijn dus alle verzamelingen die we met natuurlijke getallen kunnen construeren. De ordening wordt bepaald door de relatie “is een deelverzameling van”. Er geldt dus dat {3, 5} ≤ {3, 4, 5} enzovoort.

De bovenste kegel van de verzameling {1, 2, 3, 4} bestaat uit alle verzamelingen die de elementen 1, 2, 3, 4 bevatten. Bijvoorbeeld de verzameling {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} of {1, 2, 3, 4, 2323, 454645}. In de bovenste kegel zit ook de verzameling {1, 2, 3, 4} zelf.

De onderste kegel definiëren we op dezelfde manier — die bevat de elementen die kleiner dan of gelijk aan het element a zijn. Voor a = 7 en M de natuurlijke getallen krijgen we de verzameling {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Dat zijn de natuurlijke getallen die kleiner dan of gelijk aan zeven zijn.

Voor de verzameling {1, 2, 3, 4} krijgen we alle deelverzamelingen van deze verzameling.

Bovenste en onderste kegel van meer elementen

In het vorige deel hebben we kegels gedefinieerd voor één element. Maar we kunnen een kegel ook voor meer elementen definiëren. Als we een verzameling M en elementen a, b hebben, dan bevat hun gemeenschappelijke bovenste kegel de elementen die tegelijk groter dan of gelijk aan beide elementen a en b zijn. Met andere woorden: we berekenen de bovenste kegels van beide elementen en bepalen hun doorsnede. Zo krijgen we de elementen die zeker groter zijn dan a en tegelijk groter dan b.

We blijven bij de natuurlijke getallen: a = 3, b = 5. Alle elementen die groter dan of gelijk aan a zijn vormen de verzameling {3, 4, 5, 6, …} en voor b: {5, 6, 7, 8, …}. Nu nemen we de doorsnede, en daarmee krijgen we weer de verzameling {5, 6, 7, 8, …}. Als we een totaal geordende verzameling hebben, is het genoeg om het grotere van de twee elementen te bepalen en daarvan de bovenste kegel te berekenen.

Bij verzamelingen wordt het niet meer zo eenvoudig. We kunnen proberen de onderste kegel van de verzamelingen a = {1, 2, 3} en b = {2, 3, 4} te berekenen. Dat zijn alle verzamelingen die tegelijk deelverzamelingen van a en van b zijn. Is de verzameling {1, 2, 3} bijvoorbeeld een deelverzameling van a? Ja. Is ze ook een deelverzameling van b? Nee. Deze verzameling zit dus niet in de onderste kegel.

We kunnen kijken wat de grootste verzameling is die een deelverzameling van zowel a als b is. Dat is duidelijk de verzameling {2, 3}, de verzameling die ontstaat als doorsnede van de verzamelingen a ∩ b. Die zit in de onderste kegel. En alle deelverzamelingen van deze verzameling ook. Want als bijvoorbeeld ∅ ⊆ {2, 3} en tegelijk {2, 3} ⊆ a ∧ {2, 3} ⊆ b, dan zeker ook ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b. Dat volgt uit de transitiviteit.

Tot slot definiëren we de bovenste en onderste kegel voor een hele verzameling, niet alleen voor een paar elementen. We hebben een verzameling M en een verzameling A ⊆ M waarvoor we de bovenste en onderste kegel willen berekenen. Dan geldt:

$$\begin{array}{rcl}H(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ D(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Supremum en infimum

Met kegels kunnen we gemakkelijk het infimum en het supremum definiëren. Als we een verzameling M en een element a ∈ M hebben, dan is zowel het supremum als het infimum van het element a weer hetzelfde element a.

Willen we echter het supremum van twee elementen uit M, de elementen a, b, bepalen, dan moeten we het anders aanpakken. Het supremum van de elementen a, b, genoteerd als a ∨ b of sup(a, b), is gelijk aan het kleinste element van de bovenste kegel van de elementen a, b. We bepalen dus alle elementen die groter dan of gelijk aan de elementen a, b zijn en uit die elementen nemen we het kleinste element. Niet het minimale, het kleinste. Een kleinste element hoeft in het algemeen niet te bestaan, dus ook het supremum hoeft in het algemeen niet te bestaan.

Berekenen we het infimum, dan zoeken we eerst de onderste kegel van beide elementen en daarna zoeken we het grootste element.

Voorbeeld: we weten al dat de bovenste kegel van de getallen 3 en 5 de verzameling {5, 6, 7, …} is. Het kleinste element is gelijk aan vijf. Er geldt dus dat sup(3, 5) = 5.

Verder weten we dat de onderste kegel van de verzamelingen a = {1, 2, 3} en b = {2, 3, 4} gelijk is aan de verzameling van alle deelverzamelingen van de verzameling {2, 3}. Dat zijn de verzamelingen: {2, 3}, {2}, {3}, ∅. Daarbij is de grootste verzameling precies de verzameling {2, 3}. Deze verzameling is dus het infimum van de verzamelingen a, b. We noteren a ∧ b = {2, 3} of inf(a, b) = {2, 3}.

Definitie van een tralie

Een tralie S is een geordende verzameling waarin bij elke twee elementen a, b ∈ S een supremum en een infimum bestaan, waarbij dit infimum en supremum tot de verzameling S behoren. We kunnen dus opschrijven dat een geordende verzameling S een tralie is als

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{en}inf(a,b)\in S$$

Een eenvoudig voorbeeld van een tralie zijn de reële getallen met de klassieke ordening. Er geldt dat sup(a, b) = max(a, b) en inf(a, b) = min(a, b), en dat zijn altijd reële getallen.

Een systeem van verzamelingen, geordend door de relatie “is een deelverzameling van” zoals we die eerder hebben ingevoerd, is ook een tralie. Er geldt dat sup(a, b) = a ∪ b en inf(a, b) = a ∩ b. Dat zijn weer verzamelingen uit het systeem van verzamelingen.

Als we als systeem van verzamelingen S alle deelverzamelingen met twee elementen van de natuurlijke getallen nemen (bijvoorbeeld {1, 2}, {7, 19}, …), dan is deze verzameling geen tralie, omdat bijvoorbeeld sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4} en de verzameling {1, 2, 3, 4} geen element is van de verzameling van alle deelverzamelingen met twee elementen van de natuurlijke getallen.