Hilat

Hila on järjestetty joukko, jolla on lisäksi ominaisuus, että jokaisella kahdella hilan alkiolla täytyy olla supremum ja infimum, jotka kuuluvat myös kyseiseen hilaan.

Yläkartio ja alakartio

Aluksi on joukko M, jossa on määritelty jokin järjestys ≤. Tämä järjestys voi olla mikä tahansa, mutta sen täytyy toteuttaa järjestysrelaation ehdot.

Otetaan sitten jokin joukon M alkio a. Alkion a yläkartio joukossa M määritellään kaikkina sellaisina x ∈ M, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin a, eli joille pätee a ≤ x.

Jos joukoksi otetaan positiiviset kokonaisluvut ja alkioksi a = 7, yläkartio on lukujen joukko {7, 8, 9, …}. Reaaliluvuilla saataisiin väli [7, ∞[.

Jos otettaisiin joukko M = 2^ℤ+ – kyseessä on potenssijoukko, eli kaikkien positiivisten kokonaislukujen osajoukkojen joukko. Se sisältää siis kaikki joukot, jotka voidaan muodostaa positiivisten kokonaislukujen avulla. Järjestys syntyy osajoukkorelaatiosta. Pätee siis esimerkiksi {3, 5} ≤ {3, 4, 5} jne.

Joukon {1, 2, 3, 4} yläkartiossa ovat kaikki joukot, jotka sisältävät alkiot 1, 2, 3, 4. Esimerkiksi joukko {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} tai {1, 2, 3, 4, 2323, 454645}. Yläkartiossa on myös itse joukko {1, 2, 3, 4}.

Alakartio määritellään vastaavasti – se sisältää alkiot, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin alkio a. Kun a = 7 ja M on positiivisten kokonaislukujen joukko, saadaan joukko {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Nämä ovat ne positiiviset kokonaisluvut, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin seitsemän.

Joukon {1, 2, 3, 4} alakartioksi saadaan kaikki tämän joukon osajoukot.

Usean alkion yläkartio ja alakartio

Edellä määriteltiin kartiot yhdelle alkiolle. Kartio voidaan kuitenkin määritellä myös useammalle alkiolle. Jos on joukko M ja alkiot a, b, niiden yhteinen yläkartio sisältää alkiot, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin sekä a että b samanaikaisesti. Toisin sanoen lasketaan molempien alkioiden yläkartiot ja otetaan niiden leikkaus. Näin saadaan alkiot, jotka ovat varmasti suurempia kuin a ja samalla suurempia kuin b.

Pysytään positiivisissa kokonaisluvuissa: a = 3, b = 5. Kaikkien alkioiden, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin a, joukko on {3, 4, 5, 6, …} ja alkion b tapauksessa {5, 6, 7, 8, …}. Otetaan nyt leikkaus, jolloin saadaan jälleen joukko {5, 6, 7, 8, …}. Jos joukko on täydellisesti järjestetty, riittää selvittää kahdesta alkiosta suurempi ja laskea sen yläkartio.

Joukkojen tapauksessa asia ei ole yhtä yksinkertainen. Yritetään laskea joukkojen a = {1, 2, 3} ja b = {2, 3, 4} alakartio. Se muodostuu kaikista joukoista, jotka ovat samalla sekä joukon a että joukon b osajoukkoja. Onko esimerkiksi joukko {1, 2, 3} joukon a osajoukko? On. Onko se myös joukon b osajoukko? Ei. Tämä joukko ei siis kuulu alakartioon.

Voidaan yrittää katsoa, mikä on suurin joukko, joka on sekä joukon a että joukon b osajoukko. Se on selvästi joukko {2, 3}, joka syntyy joukkojen leikkauksena a ∩ b. Se kuuluu alakartioon. Samoin kaikki tämän joukon osajoukot. Sillä jos esimerkiksi ∅ ⊆ {2, 3} ja samalla {2, 3} ⊆ a ∧ {2, 3} ⊆ b, niin varmasti myös ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b. Tämä seuraa transitiivisuudesta.

Lopuksi määritellään yläkartio ja alakartio koko joukolle, ei vain alkioparille. Olkoon M joukko ja A ⊆ M joukko, jonka yläkartio ja alakartio halutaan laskea. Silloin pätee:

$$\begin{array}{rcl}H(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ D(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Supremum ja infimum

Kartioiden avulla supremum ja infimum on helppo määritellä. Jos on joukko M ja alkio a ∈ M, alkion a supremum ja infimum on jälleen sama alkio a.

Jos halutaan selvittää kahden joukon M alkion, alkioiden a ja b, supremum, täytyy toimia toisin. Alkioiden a, b supremum, jota merkitään a ∨ b tai sup(a, b), on yhtä suuri kuin alkioiden a, b yläkartion pienin alkio. Lasketaan siis kaikki alkiot, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin alkiot a, b, ja niistä otetaan pienin alkio. Ei minimaalinen, vaan pienin. Pienintä alkiota ei yleisesti tarvitse olla olemassa, joten ei välttämättä ole olemassa supremumiakaan.

Jos lasketaan infimum, etsitään ensin molempien alkioiden alakartio ja sitten sen suurin alkio.

Esimerkki: tiedetään jo, että lukujen 3 ja 5 yläkartio on joukko {5, 6, 7, …}. Pienin alkio on viisi. Siis sup(3, 5) = 5.

Lisäksi tiedetään, että joukkojen a = {1, 2, 3} ja b = {2, 3, 4} alakartio on joukon {2, 3} kaikkien osajoukkojen joukko. Se vastaa joukkoja {2, 3}, {2}, {3}, ∅. Näistä suurin joukko on juuri joukko {2, 3}. Tämä joukko on siis joukkojen a, b infimum. Merkitään a ∧ b = {2, 3} tai inf(a, b) = {2, 3}.

Hilan määritelmä

Hila S on järjestetty joukko, jossa jokaiselle kahdelle alkiolle a, b ∈ S on olemassa supremum ja infimum, ja nämä infimum ja supremum kuuluvat joukkoon S. Voidaan siis kirjoittaa, että järjestetty joukko S on hila, jos

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{ja}inf(a,b)\in S$$

Yksinkertainen esimerkki hilasta ovat reaaliluvut tavallisella järjestyksellä. Pätee sup(a, b) = max(a, b) ja inf(a, b) = min(a, b), jotka ovat aina reaalilukuja.

Joukkoperhe, jossa järjestys on osajoukkorelaation mukainen kuten aiemmin otettiin käyttöön, on myös hila. Pätee sup(a, b) = a ∪ b ja inf(a, b) = a ∩ b. Nämä ovat jälleen joukkoperheen joukkoja.

Jos joukkoperheeksi S otetaan kaikki positiivisten kokonaislukujen kaksialkioiset osajoukot (esim. {1, 2}, {7, 19}, …), tämä joukko ei ole hila, koska esimerkiksi sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4} ja joukko {1, 2, 3, 4} ei kuulu kaikkien positiivisten kokonaislukujen kaksialkioisten osajoukkojen joukkoon.