関係の演算

関係は実は集合なので、関係にはふつうの集合の演算を行うことができます。

集合の演算

前の記事では、関係を集合として定義しました。集合には、和集合、共通部分、差集合のような演算があります。これらが関係の場合にどんな意味をもつかを見てみましょう。

まず、条件を一つ決めておく必要があります。これらの演算は、どんな関係どうしでも行えるわけではないからです。「より小さい」と「偶数である」という関係があっても、これらの演算は意味をもちません。1つ目の関係は二項関係で、2つ目は単項関係だからです。集合の演算を行った結果がふたたび関係になるためには、使う関係がすべて同じ項数をもつ必要があります。つまり、ある n について、すべてが n 項関係でなければなりません。

和集合

「より小さい」と「等しい」という関係を考えます。この2つの関係の和をとると、どうなるでしょうか。「より小さい」という関係には、a < b を満たす対 (a, b) がすべて入っています。「等しい」という関係には、a = b を満たす対 (a, b) がすべて入っています。したがって、関係 < ∪ = には、a < b または a = b を満たす対 (a, b) がすべて入ります。a は b より小さいか、等しいかのどちらかです。この関係はよく知られていて、「以下」とよばれ、$\leqq$ で表されます。

関係 R₁ と R₂ があるとき、その和として関係 R = R₁ ∪ R₂ ができます。この関係では、要素 r は、関係 R₁ に属するか関係 R₂ に属するとき、関係 R に属します。言いかえると、和をとった関係の少なくとも一方に属していた要素が、結果の関係に入ります。

共通部分

和では、和をとった関係の少なくとも一方に属する要素からなる、新しい関係が得られました。共通部分も似ていますが、要素は両方の関係に属していなければなりません。

ふたたび「より小さい」と「等しい」という関係（実数上の関係）を考え、その共通部分をとってみましょう。何が得られるでしょうか。「より小さい」という関係にあり、しかも等しい要素が得られるはずです。しかし、そのようなことは起こりえません。a < b ならば、a = b は決して成り立たないからです。得られるのは空関係です。

次の2つの関係を考えます。「割り切る」という関係（1番目の数が2番目の数を割り切る）と、a が奇数で b が偶数である要素の対 (a, b) からなる二項関係です。自然数の範囲で考えましょう。1つ目の関係には、(5, 15), (6, 30), (3, 123) のような数の対が入ります。2番目の数は、つねに1番目の数で割り切れなければなりません。2つ目の関係には、1番目の数が奇数で2番目の数が偶数である数の対が入ります。(1, 4), (5, 14), (3, 24) などです。この2つの関係の共通部分として新しい関係 R ができます。この関係には、b が a で割り切れ、しかも a が奇数で b が偶数である対 (a, b) が入ります。例えば (5, 30) や (3, 24) です。

差集合

2つの関係 R₁ と R₂ があるとき、差 R₁ − R₂ として新しい関係ができます。この関係には、R₁ に属し、R₂ には属さない要素が入ります。ここでも「以下」と「等しい」という関係に戻ってみましょう。関係 R₁ を「以下」、関係 R₂ を「等しい」とすると、差 R₁ − R₂ として、「以下」という関係には属するが「等しい」という関係には属さない要素が得られます。つまり、$a\leqq b$ が成り立ち、しかも a = b は成り立たない対 (a, b) が得られます。言いかえると、「より小さい」という関係 < が得られます。

補関係

どの関係にも、補関係を考えることができます。関係 R の補関係の要素は、もとの関係 R に属さないすべての要素です。例えば、等号の関係（つまり =）の補関係は、「等しくない」という関係です。1つ目の関係には、等しいすべての要素の対（例えば 5 = 5）が入り、補関係には、等しくないすべての数の対（例えば 5 ≠ 6）が入ります。

補関係を求めるときに気をつけなければならないのは、台集合、つまり関係が定められている集合だけです。等号の関係は、自然数、整数、実数の上で定義できますが、地球上のすべての人の集合の上で定義してもかまいません。

集合 M₁ と M₂ の間の二項関係 R、つまり R ⊆ M₁ × M₂ があるとき、その補関係を S とすると、S = (M₁ × M₂) ∖ R が成り立ちます。補関係は、台集合の直積には属するが、関係 R には属さない要素からなります。ほかの項数の関係についても同じです。