Δικτυωτά

Δικτυωτό είναι ένα διατεταγμένο σύνολο με την επιπλέον ιδιότητα ότι για κάθε δύο στοιχεία του δικτυωτού πρέπει να υπάρχουν supremum και infimum, που επίσης ανήκουν στο ίδιο δικτυωτό.

Άνω και κάτω κώνος

Στην αρχή έχουμε ένα σύνολο M, στο οποίο έχουμε ορίσει κάποια διάταξη ≤. Η διάταξη αυτή μπορεί να είναι οποιαδήποτε, αρκεί να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της σχέσης διάταξης.

Στη συνέχεια παίρνουμε ένα στοιχείο a του συνόλου M. Άνω κώνο του στοιχείου a στο σύνολο M ορίζουμε ως όλα τα x ∈ M που είναι μεγαλύτερα ή ίσα του a, δηλαδή για αυτά ισχύει a ≤ x.

Αν πάρουμε ως σύνολο τους φυσικούς αριθμούς και ως στοιχείο a = 7, τότε ο άνω κώνος είναι το σύνολο των αριθμών {7, 8, 9, …}. Στους πραγματικούς αριθμούς θα παίρναμε το διάστημα [7, +∞).

Αν πάρουμε το σύνολο $M=2^{{\mathbb{N}}^{\ast }}$ – πρόκειται για το δυναμοσύνολο, δηλαδή το σύνολο όλων των υποσυνόλων των φυσικών αριθμών. Είναι επομένως όλα τα σύνολα που μπορούμε να κατασκευάσουμε με τη βοήθεια των φυσικών αριθμών. Η διάταξη θα παράγεται από τη σχέση του υποσυνόλου. Ισχύει λοιπόν ότι {3, 5} ≤ {3, 4, 5} κτλ.

Άνω κώνος του συνόλου {1, 2, 3, 4} θα είναι όλα τα σύνολα που περιέχουν τα στοιχεία 1, 2, 3, 4. Για παράδειγμα το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} ή το {1, 2, 3, 4, 2323, 454645}. Στον άνω κώνο θα ανήκει και το ίδιο το σύνολο {1, 2, 3, 4}.

Τον κάτω κώνο τον ορίζουμε αντίστοιχα – περιέχει τα στοιχεία που είναι μικρότερα ή ίσα του στοιχείου a. Για a = 7 και M τους φυσικούς παίρνουμε το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Είναι οι φυσικοί αριθμοί που είναι μικρότεροι ή ίσοι του επτά.

Για το σύνολο {1, 2, 3, 4} παίρνουμε όλα τα υποσύνολά του.

Άνω και κάτω κώνος περισσότερων στοιχείων

Στο προηγούμενο μέρος ορίσαμε τους κώνους για ένα στοιχείο. Μπορούμε όμως να ορίσουμε κώνο και για περισσότερα στοιχεία. Αν έχουμε ένα σύνολο M και στοιχεία a, b, τότε ο κοινός άνω κώνος τους θα περιέχει τα στοιχεία που είναι μεγαλύτερα ή ίσα και από τα δύο στοιχεία a και b ταυτόχρονα. Με άλλα λόγια, υπολογίζουμε τους άνω κώνους και των δύο στοιχείων και βρίσκουμε την τομή τους. Έτσι παίρνουμε τα στοιχεία που είναι σίγουρα μεγαλύτερα από το a και ταυτόχρονα μεγαλύτερα από το b.

Αν μείνουμε στους φυσικούς αριθμούς: a = 3, b = 5. Όλα τα στοιχεία που είναι μεγαλύτερα ή ίσα του a αποτελούν το σύνολο {3, 4, 5, 6, …} και όσα είναι μεγαλύτερα ή ίσα του b το {5, 6, 7, 8, …}. Τώρα βρίσκουμε την τομή, οπότε παίρνουμε πάλι το σύνολο {5, 6, 7, 8, …}. Αν έχουμε ολικά διατεταγμένο σύνολο, αρκεί να βρούμε το μεγαλύτερο από τα δύο στοιχεία και να υπολογίσουμε τον άνω κώνο του.

Στην περίπτωση των συνόλων τα πράγματα δεν θα είναι τόσο απλά. Μπορούμε να δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε τον κάτω κώνο των συνόλων a = {1, 2, 3} και b = {2, 3, 4}. Είναι όλα τα σύνολα που είναι ταυτόχρονα υποσύνολα και του a και του b. Είναι για παράδειγμα το σύνολο {1, 2, 3} υποσύνολο του a; Ναι. Είναι και υποσύνολο του b; Όχι. Το σύνολο αυτό δεν θα ανήκει στον κάτω κώνο.

Μπορούμε να δούμε ποιο θα είναι το μεγαλύτερο σύνολο που είναι υποσύνολο και του a και του b. Προφανώς θα είναι το σύνολο {2, 3}, δηλαδή το σύνολο που προκύπτει από την τομή των συνόλων a ∩ b. Στον κάτω κώνο ανήκει. Και όλα τα υποσύνολα αυτού του συνόλου επίσης. Διότι αν για παράδειγμα ∅ ⊆ {2, 3} και ταυτόχρονα {2, 3} ⊆ a ∧ {2, 3} ⊆ b, τότε σίγουρα και ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b. Αυτό προκύπτει από τη μεταβατική ιδιότητα.

Τέλος ορίζουμε τον άνω και τον κάτω κώνο για ολόκληρο σύνολο, όχι μόνο για ένα ζεύγος στοιχείων. Έστω ένα σύνολο M και ένα σύνολο A ⊆ M, για το οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε τον άνω και τον κάτω κώνο. Τότε ισχύει:

$$\begin{array}{rcl}H(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ D(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Supremum και infimum

Με τη βοήθεια των κώνων μπορούμε εύκολα να ορίσουμε το infimum και το supremum. Αν έχουμε ένα σύνολο M και ένα στοιχείο a ∈ M, τότε το supremum και το infimum του στοιχείου a είναι πάλι το ίδιο το στοιχείο a.

Αν όμως θέλουμε να βρούμε το supremum δύο στοιχείων του M, των στοιχείων a, b, τότε πρέπει να δουλέψουμε διαφορετικά. Το supremum των στοιχείων a, b, που το συμβολίζουμε a ∨ b ή sup(a, b), ισούται με το ελάχιστο στοιχείο του άνω κώνου των στοιχείων a, b. Δηλαδή υπολογίζουμε όλα τα στοιχεία που είναι μεγαλύτερα ή ίσα των στοιχείων a, b και από αυτά παίρνουμε το μικρότερο. Όχι το ελαχιστικό, το ελάχιστο. Ελάχιστο στοιχείο γενικά δεν χρειάζεται να υπάρχει, επομένως ούτε το supremum χρειάζεται γενικά να υπάρχει.

Αν υπολογίζουμε το infimum, βρίσκουμε πρώτα τον κάτω κώνο και των δύο στοιχείων και μετά βρίσκουμε το μέγιστο στοιχείο.

Παράδειγμα: ήδη γνωρίζουμε ότι ο άνω κώνος των αριθμών 3 και 5 είναι το σύνολο {5, 6, 7, …}. Το ελάχιστο στοιχείο ισούται με πέντε. Ισχύει λοιπόν sup(3, 5) = 5.

Επίσης γνωρίζουμε ότι ο κάτω κώνος των συνόλων a = {1, 2, 3} και b = {2, 3, 4} ισούται με το σύνολο όλων των υποσυνόλων του συνόλου {2, 3}. Αυτό αντιστοιχεί στα σύνολα {2, 3}, {2}, {3}, ∅. Το μεγαλύτερο από αυτά είναι ακριβώς το σύνολο {2, 3}. Το σύνολο αυτό είναι επομένως το infimum των συνόλων a, b. Γράφουμε a ∧ b = {2, 3} ή inf(a, b) = {2, 3}.

Ορισμός του δικτυωτού

Δικτυωτό S είναι ένα διατεταγμένο σύνολο στο οποίο για κάθε δύο στοιχεία a, b ∈ S υπάρχουν supremum και infimum, και το infimum και το supremum αυτά ανήκουν στο σύνολο S. Μπορούμε έτσι να γράψουμε ότι ένα διατεταγμένο σύνολο S είναι δικτυωτό, αν

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{και}inf(a,b)\in S$$

Ένα απλό παράδειγμα δικτυωτού είναι οι πραγματικοί αριθμοί με τη συνήθη διάταξη. Ισχύει sup(a, b) = max(a, b) και inf(a, b) = min(a, b), που είναι πάντοτε πραγματικοί αριθμοί.

Ένα σύστημα συνόλων με διάταξη σύμφωνα με τη σχέση του υποσυνόλου, όπως την εισαγάγαμε νωρίτερα, είναι επίσης δικτυωτό. Ισχύει sup(a, b) = a ∪ b και inf(a, b) = a ∩ b. Αυτά είναι πάλι σύνολα του συστήματος συνόλων.

Αν ως σύστημα συνόλων S πάρουμε όλα τα υποσύνολα των φυσικών αριθμών με δύο στοιχεία (π.χ. {1, 2}, {7, 19}, …), τότε το σύνολο αυτό δεν είναι δικτυωτό, επειδή για παράδειγμα sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4} και το σύνολο {1, 2, 3, 4} δεν ανήκει στο σύνολο όλων των υποσυνόλων των φυσικών αριθμών με δύο στοιχεία.