Verbände

Ein Verband ist eine geordnete Menge, die um die Eigenschaft ergänzt ist, dass für je zwei Elemente des Verbands ein Supremum und ein Infimum existieren müssen, die ebenfalls zu diesem Verband gehören.

Obere und untere Schranken

Am Anfang haben wir eine Menge M, auf der eine Ordnung ≤ definiert ist. Diese Ordnung kann beliebig sein, muss aber die Bedingungen einer Ordnungsrelation erfüllen.

Weiter nehmen wir ein Element a aus der Menge M. Die Menge der oberen Schranken des Elements a in der Menge M definieren wir als alle x ∈ M, die größer oder gleich a sind, für die also a ≤ x gilt.

Wenn wir als Menge die natürlichen Zahlen und als Element a = 7 nehmen, dann ist die Menge der oberen Schranken die Zahlenmenge {7; 8; 9; …}. Auf den reellen Zahlen würden wir das Intervall [7; +∞[ erhalten.

Nehmen wir die Menge M = 2^ℕ – das ist die Potenzmenge, also die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen. Es sind also alle Mengen, die wir mithilfe der natürlichen Zahlen konstruieren können. Die Ordnung wird von der Teilmengenrelation erzeugt. Es gilt also, dass {3; 5} ≤ {3; 4; 5} usw.

Die Menge der oberen Schranken der Menge {1; 2; 3; 4} besteht aus allen Mengen, die die Elemente 1, 2, 3, 4 enthalten. Zum Beispiel die Menge {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9} oder {1; 2; 3; 4; 2323; 454645}. Zu den oberen Schranken gehört auch die Menge {1; 2; 3; 4} selbst.

Die Menge der unteren Schranken definieren wir analog – sie enthält die Elemente, die kleiner oder gleich dem Element a sind. Für a = 7 und die natürlichen Zahlen als M erhalten wir die Menge {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Das sind die natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich sieben sind.

Für die Menge {1; 2; 3; 4} erhalten wir alle Teilmengen dieser Menge.

Obere und untere Schranken mehrerer Elemente

Im vorherigen Abschnitt haben wir die Schranken für ein Element definiert. Wir können sie aber auch für mehrere Elemente definieren. Wenn wir eine Menge M und die Elemente a, b haben, dann enthält ihre gemeinsame Menge der oberen Schranken die Elemente, die größer oder gleich beiden Elementen a und b gleichzeitig sind. Mit anderen Worten: Wir berechnen die Mengen der oberen Schranken beider Elemente und bilden ihre Schnittmenge. So erhalten wir die Elemente, die sicher größer sind als a und zugleich größer als b.

Bleiben wir bei den natürlichen Zahlen: a = 3, b = 5. Alle Elemente, die größer oder gleich a sind, bilden die Menge {3; 4; 5; 6; …}, und die, die größer oder gleich b sind: {5; 6; 7; 8; …}. Nun bilden wir die Schnittmenge, wodurch wir wieder die Menge {5; 6; 7; 8; …} erhalten. Wenn wir eine total geordnete Menge haben, genügt es, das größere der beiden Elemente zu bestimmen und dessen Menge der oberen Schranken zu berechnen.

Bei Mengen wird es nicht mehr so einfach sein. Wir können versuchen, die Menge der unteren Schranken der Mengen a = {1; 2; 3} und b = {2; 3; 4} zu berechnen. Das sind alle Mengen, die zugleich Teilmengen von a und von b sind. Ist zum Beispiel die Menge {1; 2; 3} eine Teilmenge von a? Ja. Ist sie auch eine Teilmenge von b? Nein. Diese Menge gehört also nicht zu den unteren Schranken.

Wir können uns anschauen, welche die größte Menge ist, die eine Teilmenge von a und von b ist. Das ist offenbar die Menge {2; 3}, die durch die Schnittmenge a ∩ b entsteht. Sie gehört zu den unteren Schranken. Und alle Teilmengen dieser Menge ebenfalls. Denn wenn zum Beispiel ∅ ⊆ {2; 3} und zugleich {2; 3} ⊆ a ∧ {2; 3} ⊆ b, dann gilt sicher auch ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b. Das folgt aus der Transitivität.

Schließlich definieren wir die oberen und unteren Schranken für die ganze Menge, nicht nur für ein Paar von Elementen. Sei M eine Menge und A ⊆ M eine Menge, für die wir die oberen und unteren Schranken berechnen wollen. Dann gilt:

$$\begin{array}{rcl}O(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ U(A)& =& \{x\mid \mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Supremum und Infimum

Mithilfe der Schranken können wir Infimum und Supremum leicht definieren. Wenn wir eine Menge M und ein Element a ∈ M haben, dann ist sowohl das Supremum als auch das Infimum des Elements a wieder dasselbe Element a.

Wollen wir aber das Supremum zweier Elemente aus M bestimmen, der Elemente a, b, dann müssen wir anders vorgehen. Das Supremum der Elemente a, b, bezeichnet mit a ∨ b oder sup(a; b), ist gleich dem kleinsten Element der Menge der oberen Schranken der Elemente a, b. Wir berechnen also alle Elemente, die größer oder gleich den Elementen a, b sind, und aus diesen Elementen nehmen wir das kleinste Element. Nicht das minimale, das kleinste. Ein kleinstes Element muss im Allgemeinen nicht existieren, deshalb muss im Allgemeinen auch das Supremum nicht existieren.

Wenn wir das Infimum berechnen, finden wir zuerst die Menge der unteren Schranken beider Elemente und dann deren größtes Element.

Beispiel: Wir wissen schon, dass die Menge der oberen Schranken der Zahlen 3 und 5 die Menge {5; 6; 7; …} ist. Das kleinste Element ist gleich fünf. Es gilt also sup(3; 5) = 5.

Weiter wissen wir, dass die Menge der unteren Schranken der Mengen a = {1; 2; 3} und b = {2; 3; 4} gleich der Menge aller Teilmengen der Menge {2; 3} ist. Das entspricht den Mengen: {2; 3}, {2}, {3}, ∅. Dabei ist die größte Menge gerade die Menge {2; 3}. Diese Menge ist also das Infimum der Mengen a, b. Wir schreiben a ∧ b = {2; 3} oder inf(a; b) = {2; 3}.

Definition des Verbands

Ein Verband S ist eine geordnete Menge, in der zu je zwei Elementen a, b ∈ S das Supremum und das Infimum existieren, wobei dieses Infimum und Supremum zur Menge S gehören. Wir können also schreiben, dass eine geordnete Menge S ein Verband ist, wenn

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a;b)\in S\text{und}inf(a;b)\in S$$

Ein einfaches Beispiel für einen Verband sind die reellen Zahlen mit der gewöhnlichen Ordnung. Es gilt, dass sup(a; b) = max(a; b) und inf(a; b) = min(a; b), was immer reelle Zahlen sind.

Ein Mengensystem mit der Ordnung nach der Teilmengenrelation, wie wir sie früher eingeführt haben, ist ebenfalls ein Verband. Es gilt, dass sup(a; b) = a ∪ b und inf(a; b) = a ∩ b. Das sind wieder Mengen aus dem Mengensystem.

Wenn wir als Mengensystem S alle zweielementigen Teilmengen der natürlichen Zahlen nehmen (z. B. {1; 2}, {7; 19}, …), dann ist diese Menge kein Verband, weil zum Beispiel sup({1; 2}; {3; 4}) = {1; 2; 3; 4} gilt und die Menge {1; 2; 3; 4} kein Element der Menge aller zweielementigen Teilmengen der natürlichen Zahlen ist.