Równanie prostej w przestrzeni

Poprzednie artykuły zajmowały się analitycznym opisem prostej na płaszczyźnie. W tym artykule pokażemy, jak opisać prostą analitycznie w przestrzeni.

Równanie parametryczne prostej w przestrzeni

Przy równaniu parametrycznym prostej na płaszczyźnie wyjaśniliśmy, że jeśli mamy punkt A, przez który przechodzi prosta p, i wektor kierunkowy $\vec{u}$, to każdy punkt X tej prostej p możemy zapisać jako

$$ X = A + t\cdot \vec{u},\qquad t\in \mathbb{R}. $$

Liczbę t nazywamy parametrem. Poprzednie równanie prowadzi do znanego układu równań

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2\\ \end{eqnarray}$$

Możemy popatrzeć na rysunek:

Jeśli do punktu A dodamy odpowiednią wielokrotność wektora kierunkowego $\vec{u}$, czyli wektor $t\cdot\vec{u}$, dostaniemy punkt B. I tak samo dla każdego punktu prostej.

Ten sam pomysł możemy zastosować także w przestrzeni. Również w przestrzeni prostą p możemy wyznaczyć punktem A, przez który ta prosta przechodzi, i jej wektorem kierunkowym $\vec{u}$, a wtedy dla każdego punktu X tej prostej zachodzi

$$ X = A + t\cdot \vec{u},\qquad t\in \mathbb{R}. $$

Widzimy, że dostajemy dokładnie to samo równanie. Jedyna różnica jest taka, że poruszamy się w przestrzeni, więc punkty X i A będą miały trzy współrzędne, a nie dwie, i tak samo wektor kierunkowy $\vec{u}$ będzie miał trzy współrzędne. Równanie prowadzi wtedy do układu trzech równań zamiast dwóch:

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1,\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2,\\ z &=& a_3 + t\cdot u_3,\\ \end{eqnarray}$$

gdzie x, y, z są współrzędnymi punktu X = (x, y, z), który leży gdzieś na prostej, $\vec{u}=[u_1, u_2, u_3]$ jest wektorem kierunkowym, a A = (a₁, a₂, a₃) jest punktem w przestrzeni, przez który ta prosta przechodzi.