Równanie kierunkowe prostej

Równanie kierunkowe prostej (postać kierunkowa) wiąże się z miarą kąta, jaki prosta tworzy z osią x.

Motywacja

Mamy prostą p, która ma równanie ogólne Ax + By + C = 0. Wiemy, że wykresem funkcji liniowej jest właśnie prosta. Funkcję liniową zwykle zapisujemy w postaci y = f(x). Moglibyśmy więc chcieć przekształcić równanie ogólne prostej Ax + By + C = 0 właśnie do tej postaci. Żeby to się udało, potrzebujemy, żeby B ≠ 0, bo musimy z równania wyznaczyć y, a więc podzielić całe równanie przez B. Jeśli więc B ≠ 0, możemy równanie ogólne przekształcić tak:

$$\begin{eqnarray} Ax+By+C&=&0\qquad/ :B\\ \frac{Ax}{B}+y+\frac{C}{B} &=&0\qquad/ \mbox{ wyznaczamy }y\\ y&=&-\frac{Ax}{B}-\frac{C}{B} \end{eqnarray}$$

W ten sposób dostaliśmy zwykły wzór funkcji liniowej. Ponieważ ten zapis jest dość skomplikowany, wprowadzamy oznaczenia

$$\begin{eqnarray} a &=& -\frac{A}{B}\\ b&=& -\frac{C}{B} \end{eqnarray}$$

i wtedy poprzednie równanie możemy zapisać w postaci:

$$ y = ax+b $$

Nie jest to żadna nowa postać, po prostu zamiast brzydkiego ułamka $-\frac{C}{B}$ napisaliśmy b, i tyle. Ponieważ wyrażenie ax + b opisuje zwykłą funkcję liniową, prosta w tej postaci nie może być równoległa do osi y. Zresztą wykluczyliśmy to już tym, że założyliśmy B ≠ 0.

Gdyby B = 0, prosta byłaby równoległa do osi y, a jej równanie ogólne miałoby postać Ax + C = 0. Jeśli to równanie podzielimy przez liczbę A i przekształcimy, dostaniemy:

$$\begin{eqnarray} Ax + C &=& 0\qquad /:A\\ x + \frac{C}{A} &=& 0\\ x &=& -\frac{C}{A} \end{eqnarray}$$

Ponieważ ułamek $-\frac{C}{A}$ jest znowu brzydki, wprowadzamy oznaczenie $m = -\frac{C}{A}$, więc ostatecznie dostajemy równanie

$$ x = m $$

Podsumowując: każdą prostą, która nie jest równoległa do osi y, możemy zapisać w postaci y = ax + b, gdzie a, b ∈ ℝ, a każdą prostą równoległą do osi y możemy zapisać w postaci x = m, gdzie m ∈ ℝ.

Równanie postaci y = ax + b nazywamy równaniem kierunkowym prostej (mówimy też, że równanie jest w postaci kierunkowej), a współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej.

Przykład

Mamy prostą, która przechodzi przez punkty A = (2, 8), B = (8,10). Wyznacz równanie kierunkowe tej prostej. Postać kierunkową najłatwiej wyznaczyć z równania ogólnego prostej, więc najpierw wyznaczymy właśnie je. Równanie ogólne ma postać Ax + By + C = 0, gdzie [A, B] jest wektorem normalnym, więc znajdziemy wektor normalny. Wektor kierunkowy ma współrzędne $\vec{AB}=[8-2, 10-8]=[6, 2]$, więc wektor normalny $\vec{n}$ ma współrzędne [−2, 6]. Do równania ogólnego możemy więc podstawić A = −2, B = 6 (współczynników A, B nie myl z punktami A, B):

$$ -2x+6y+C=0 $$

Za współrzędne (x, y) podstawimy do równania jakiś punkt, przez który prosta na pewno przechodzi. Na przykład punkt B = (8, 10). Podstawiamy więc do równania x = 8, y = 10:

\begin{eqnarray} -2\cdot8+6\cdot10+C&=&0\\ -16+60+C&=&0\\ C&=&-44\\ \end{eqnarray}

Wychodzi nam równanie ogólne

$$ -2x+6y-44=0 $$

To równanie możemy podzielić przez −2 i dostaniemy trochę ładniejszą postać:

$$ x-3y+22=0 $$

Postać kierunkową dostaniemy, wyznaczając y. Przeniesiemy wszystkie pozostałe wyrazy na prawą stronę, a potem równanie podzielimy przez trzy:

\begin{eqnarray} x-3y+22&=&0\\ -3y&=&-x-22\qquad/\cdot -1\\ 3y&=&x+22\qquad /\cdot \frac13\\ y&=&\frac{1}{3}x+\frac{22}{3} \end{eqnarray}

Ostatni wiersz to równanie prostej w postaci kierunkowej. Gdybyśmy chcieli znać współczynniki a, b, zapisalibyśmy $a=\frac13, b=\frac{22}{3}$. Możesz jeszcze obejrzeć wykres prostej z wektorem kierunkowym $\vec{u}$ i wektorem normalnym $\vec{n}$:

Gdyby współczynnik b nie wyszedł nam akurat tak niezgrabnie, $\frac{22}{3}$, od razu byś zobaczył, że współczynnik b jest współrzędną y punktu przecięcia prostej z osią y. Punkt przecięcia z osią y ma współrzędną x = 0. Gdy podstawimy to do równania $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, dostaniemy $y=\frac{1}{3}\cdot0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, czyli dla x = 0 jest $y = \frac{22}{3}$.

Współczynnik kierunkowy prostej

Jeśli mamy równanie prostej w postaci kierunkowej y = ax + b, to liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej. Współczynnik kierunkowy ma związek z kątem, jaki prosta tworzy z dodatnią półosią x. Popatrz na następujący rysunek:

Rysunek przedstawia cztery różne proste o różnych współczynnikach kierunkowych a, ale zawsze z tym samym współczynnikiem b = 2. Wszystkie proste mają więc postać y = ax + 2. Zauważ, że gdy płynnie zmienia się wartość współczynnika kierunkowego, tj. współczynnik przy zmiennej x, zmienia się też kąt, jaki prosta tworzy z dodatnią półosią x. Np. fioletowa prosta $y = \frac12x+2$ tworzy z półosią kąt δ, czerwona prosta y = x + 2 tworzy z półosią kąt γ, a zielona prosta y = 2x + 2 tworzy z półosią kąt β.

W tym przypadku im większy jest współczynnik kierunkowy, tym większy jest też kąt, jaki prosta tworzy z półosią. Współczynnik kierunkowy fioletowej prostej $y = \frac12x + 2$ to $a_1 = \frac12$, współczynnik kierunkowy zielonej prostej y = 2x + 2 to a₂ = 2, zachodzi więc a₁ < a₂. Jednocześnie δ < β. Ale np. współczynnik kierunkowy niebieskiej prostej y = −2x + 2 to a₃ = −2, jest więc mniejszy od wszystkich poprzednich, a przy tym kąt α jest ze wszystkich kątów największy.

Widzimy, że współczynnik kierunkowy a ma z kątem jakiś związek. Zbadamy go dokładniej. Zostawimy tylko fioletową prostą $y = \frac12x+2$ i będzie nas interesował kąt δ. Wybierzemy na prostej dowolne dwa różne punkty A, B i utworzymy z nich trójkąt prostokątny ABC, jak pokazuje rysunek. Kąty δ i ε mają tę samą miarę, bo są to kąty odpowiadające.

Spróbujemy teraz wyrazić kąt ε za pomocą odcinków AC i BC. Żeby to zrobić, potrzebujemy znać długości tych odcinków. Oznaczmy współrzędne punktów A i B tak: A = (x₁, y₁) = (2,3) i B = (x₂, y₂) = (6,5). Długość odcinka AC będzie więc równa różnicy |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Weźmiemy współrzędną x punktu B, która jest taka sama jak współrzędna x punktu C, i odejmiemy od tej liczby współrzędną x punktu A. W ten sposób dostaniemy długość odcinka AC. To samo zrobimy z odcinkiem BC, tylko weźmiemy współrzędne y. Zachodzi więc |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Dalej użyjemy funkcji trygonometrycznych, konkretnie tangensa (w Polsku zapisywanego jako $\operatorname{tg}$). W trójkącie prostokątnym ABC dla kąta ε zachodzi $\operatorname{tg}(\epsilon) = \frac{|BC|}{|AC|}$. Tangens kąta ε jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej. Gdy za odcinki podstawimy ich długości, dostaniemy:

$$ \operatorname{tg}(\epsilon) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|} = \frac{2}{4} = \frac12 $$

Tangens kąta ε, który jest równy kątowi δ, wyszedł nam więc $\frac12$. Tangens kąta, jaki prosta tworzy z dodatnią półosią x, jest równy $\frac12$. A równanie tej prostej to $y = \frac12x+2$, czyli tangens kąta, jaki prosta tworzy z dodatnią półosią x, jest równy współczynnikowi kierunkowemu tej prostej! To nie przypadek i zachodzi to ogólnie:

Jeśli prosta p ma równanie kierunkowe y = ax + b, to współczynnik kierunkowy a jest równy tangensowi kąta, jaki prosta p tworzy z dodatnią półosią x.