Równanie ogólne prostej

Równanie ogólne prostej otrzymamy z równania parametrycznego prostej, usuwając z niego parametr t.

Motywacja

Pamiętasz funkcję liniową? Jej wykresem jest właśnie prosta. Podstawowa postać funkcji liniowej to przy tym y = ax + b. Popatrzmy na prostą p, która przechodzi przez punkty A = (0,3), B = (2,7):

Wyznaczymy funkcję liniową, której wykresem jest właśnie ta prosta p. Ta funkcja liniowa ma postać y = ax + b, a to, że prosta przechodzi przez punkt A = (0,3), mówi nam, że dla argumentu x₁ = 0 funkcja ma wartość y₁ = 3. Musi więc zachodzić równanie a · 0 + b = 3. Ponieważ prosta przechodzi przez punkt B = (2,7), funkcja ma dla argumentu x₂ = 2 wartość y₂ = 7, więc musi jednocześnie zachodzić równanie a · 2 + b = 7. Szukamy współczynników a, b. Powstaje nam układ równań:

$$\begin{eqnarray} a \cdot 0 + b &=& 3\\ a \cdot 2 + b &=& 7 \end{eqnarray}$$

Z pierwszego równania a · 0 + b = 3 łatwo dostaniemy współczynnik b, który jest równy b = 3. Ten wynik podstawimy do drugiego równania, czyli do równania a · 2 + b = 7 podstawimy za b liczbę trzy:

$$\begin{eqnarray} a \cdot 2 + b &=& 7\\ a \cdot 2 + 3 &=& 7\\ a \cdot 2 &=& 4\\ a &=& 2 \end{eqnarray}$$

I mamy oba współczynniki: a = 2, b = 3. Funkcja, która opisuje poprzednią prostą, ma postać y = 2x + 3. Gdy za x podstawimy x = 1, dostaniemy y = 2 + 3 = 5, co zgadza się z wykresem prostej. Postać y = 2x + 3 możemy jeszcze przepisać tak, żeby po prawej stronie było zero, tzn. dodamy do obu stron równania −(2x + 3). Dostaniemy w ten sposób równanie:

$$ y-2x-3=0 $$

To równanie nazywa się równaniem ogólnym prostej.

Definicja równania ogólnego prostej

Poprzednie postępowanie jest nieco skomplikowane, a do tego nie da się go zastosować, gdy prosta jest równoległa do osi y, tzn. gdy jest pionowa, bo taka prosta nie jest wykresem żadnej funkcji. Równanie ogólne prostej wprowadzimy więc jeszcze inaczej. Powiemy, że każde równanie liniowe postaci

$$ Ax + By + C = 0, $$

gdzie A,B,C∈ ℝ i co najmniej jedna z liczb A,B jest różna od zera, jest równaniem prostej na płaszczyźnie (współczynników A, B nie myl z punktami A, B, polskie podręczniki po prostu używają tych samych liter). Przy tym każdą prostą na płaszczyźnie można zapisać w tej postaci. To równanie nazywamy równaniem ogólnym prostej. Łatwo je wyznaczymy z równania parametrycznego prostej. Jeśli mamy prostą opisaną równaniem parametrycznym

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2,\\ \end{eqnarray}$$

równanie ogólne wyznaczymy tak, że usuniemy z równania parametrycznego parametr t. Przykład: zostańmy przy poprzedniej prostej wyznaczonej przez punkty A = (0,3), B = (2,7). Wyznaczymy wektor kierunkowy $\vec{u}$ z odcinka skierowanego $\vec{AB}$.

$$ \vec{u}=[u_1, u_2]=\vec{AB}=[2-0, 7-3]=[2, 4] $$

Możemy znowu obejrzeć prostą p z wektorem kierunkowym $\vec{u}$:

Zapiszemy równanie parametryczne z punktem A i wektorem $\vec{u}$:

$$\begin{eqnarray} x &=& 0 + t\cdot 2\\ y &=& 3 + t\cdot 4\\ \end{eqnarray}$$

Żeby dostać równanie ogólne, musimy te dwa równania dodać tak, żeby parametr t się zredukował. Najpierw więc pomnożymy pierwsze równanie przez −2, a drugiego nie zmienimy:

$$\begin{eqnarray} -2x &=& 0 - t\cdot 4\\ y &=& 3 + t\cdot 4\\ \end{eqnarray}$$

A teraz oba równania dodamy, przez co dostaniemy jedno równanie:

$$\begin{eqnarray} y-2x &=&3 +t \cdot 4 - t \cdot 4\\ y-2x &=&3\\ y-2x-3 &=&0 \end{eqnarray}$$

To jest szukane równanie ogólne prostej p. Widzimy, że dostaliśmy dokładnie takie samo równanie jak poprzednim sposobem.

Do czego służy równanie ogólne prostej

Równanie ogólne wyznacza nam wszystkie punkty, które tworzą prostą. Jeśli do równania ogólnego postaci Ax + By + C = 0 podstawimy za niewiadome x,y takie liczby rzeczywiste, że równość będzie prawdziwa, to (x,y) jest punktem tej prostej. Wróćmy do poprzedniej prostej opisanej równaniem ogólnym y − 2x − 3 = 0. Jeśli za x,y podstawimy wartości x = 1, y = 5, dostaniemy równanie:

$$\begin{eqnarray} 5-2\cdot1-3&=&0\\ 5-2-3&=&0\\ 0&=&0 \end{eqnarray}$$

To oznacza, że punkt (1,5) leży na prostej. Gdy spróbujemy podstawić x = 2, y = 3, dostaniemy równanie:

$$\begin{eqnarray} 3-2\cdot2-3&=^?&0\\ 3-4-3&=^?&0\\ -4&\ne&0 \end{eqnarray}$$

Równość nie jest prawdziwa, punkt (2,3) nie leży na prostej p. Możemy to też sprawdzić na rysunku:

Prosta pionowa

Wspomnieliśmy już, że równania ogólnego prostej pionowej p nie dałoby się otrzymać sposobem opisanym w pierwszym rozdziale, bo prosta pionowa nie jest wykresem żadnej funkcji. Mimo to również taka prosta ma swoje równanie ogólne, które otrzymamy sposobem z poprzedniego rozdziału.

Pokażemy to na prostej, która przechodzi przez punkty A = (4,2), B = (4,8). Wektor kierunkowy $\vec{u}$ ma postać:

$$ \vec{u}=[u_1,u_2]=\vec{AB}=[4-4, 8-2]=[0, 6] $$

Rysunek:

Równanie parametryczne z punktem A i wektorem kierunkowym $\vec{u}$ wyglądałoby tak:

$$\begin{eqnarray} x &=& 4 + t\cdot 0\\ y &=& 2 + t\cdot 6\\ \end{eqnarray}$$

Teraz powinniśmy usunąć parametr t. Pierwsze równanie oszczędziło nam jednak pracy, w pierwszym równaniu żadnego parametru t nie ma, a dokładniej jest on zawsze pomnożony przez zero, więc całe to równanie możemy wykorzystać jako równanie ogólne prostej p. Prosta p ma więc równanie ogólne

$$ x-4=0 $$

Współczynniki A,B,C w równaniu Ax + By + C = 0 są więc równe A = 1, B = 0, C = −4.

Prosta pozioma

Pokażemy jeszcze jeden przykład, z prostą poziomą, która przechodzi przez punkty A = (2,1), B = (5,1). Wektor kierunkowy $\vec{u}$ będzie równy:

$$ \vec{u}=[u_1,u_2]=\vec{AB}=[5-2, 1-1]=[3, 0] $$

Rysunek:

Równanie parametryczne prostej z punktem A wyglądałoby tak:

$$\begin{eqnarray} x &=& 2 + t\cdot 3\\ y &=& 1 + t\cdot 0\\ \end{eqnarray}$$

Znowu widzimy, że nie musimy eliminować parametru t, bo w drugim równaniu jest pomnożony przez zero. Możemy więc użyć drugiego równania bezpośrednio jako równania ogólnego prostej p:

$$ y-1=0 $$