Wektor normalny prostej

Wektor normalny prostej p to wektor, który jest prostopadły do prostej p, a jego współrzędne wynikają z równania ogólnego prostej.

Motywacja

Mamy prostą p, która przechodzi przez punkty A = (0,1), B = (2,5). Prosta jest wykresem funkcji y = 2x + 1, więc równanie ogólne prostej ma postać −2x + y − 1 = 0. Rysunek:

Równanie ogólne ma postać Ax + By + C = 0, w naszym przypadku dla równania −2x + y − 1 = 0 zachodzi więc A = −2, B = 1, C = −1 (współczynników A, B nie myl z punktami A, B). Jakie znaczenie geometryczne mają współczynniki A, B? Spróbujmy tak dla zabawy narysować na rysunku wektor $\vec{u}=[A, B]$, czyli wektor $\vec{u}=[-2, 1]$:

Dość wyraźnie widać, że ten wektor jest prostopadły do prostej p. To nie przypadek: gdybyśmy wzięli dowolne równanie ogólne prostej Ax + By + C = 0, to wektor [A, B] byłby prostopadły do tej prostej. Taki wektor nazywamy wektorem normalnym prostej p.

Własności wektora normalnego

Z własności iloczynu skalarnego wektorów wiemy, że iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są do siebie prostopadłe. Ponieważ wektor kierunkowy prostej p jest równoległy do prostej p, oznacza to, że każdy wektor kierunkowy prostej p jest prostopadły do wektora normalnego. Jeśli obliczymy wektor kierunkowy z odcinka $\vec{AB}$, dostaniemy wektor

$$ \vec{v} = \vec{AB}=[2-0, 5-1]=[2, 4] $$

Na rysunku:

Gdy trochę pobawimy się iloczynem skalarnym dwóch wektorów, który dla przypomnienia jest zdefiniowany jako

$$[u_1, u_2] \cdot [v_1, v_2] = u_1\cdot v_1 + u_2 \cdot v_2,$$

to zauważymy, że jeśli mamy liczby rzeczywiste A, B, to iloczyn skalarny wektorów [A, B] i [−B, A] oraz wektorów [A, B] i [B, −A] zawsze wychodzi zero:

$$\begin{eqnarray} [A, B]\cdot[-B, A] &=& A\cdot (-B) + B\cdot A = 0\\ [A, B]\cdot[B, -A] &=& A\cdot B - B\cdot A = 0\\ \end{eqnarray}$$

A teraz wróćmy do prostej p danej równaniem ogólnym Ax + By + C = 0 i do wektora normalnego [A,B], który jest prostopadły do tej prostej. Ale chwileczkę! Przecież dzięki poprzedniej własności wiemy, że wektory [−B, A] i [B, −A] mają z wektorem normalnym zerowy iloczyn skalarny, więc wektory [−B, A] i [B, −A] muszą być prostopadłe do wektora normalnego! A ponieważ wektor normalny jest prostopadły do prostej, to wektor prostopadły do niego musi być z kolei równoległy do wyjściowej prostej p! Czad!

Możemy narysować na rysunku wektory $\vec{v}_1=[-B, A]$ i $\vec{v}_2=[B, -A]$. Prosta ma równanie ogólne −2x + y − 1 = 0, więc po podstawieniu mamy zielone wektory $\vec{v}_1=[-1, -2]$ i $\vec{v}_2=[1, 2]$:

Wyznaczanie równania ogólnego prostej z wektora normalnego i punktu

Wiemy już, że równanie ogólne prostej możemy dość łatwo wyznaczyć z równania parametrycznego. Jeśli znamy wektor normalny $\vec{n}$, równanie ogólne też łatwo wyznaczymy. Weźmy więc punkt A = (5,13), przez który przechodzi prosta p, i jej wektor normalny $\vec{n}=[4, -6]$. Prosta p ma równanie ogólne Ax + By + C = 0, a z definicji wektora normalnego możemy od razu wyznaczyć współczynniki A, B, które są równe A = 4, B = −6, czyli współrzędnym wektora normalnego (współczynników A, B nie myl z punktem A). Równanie ogólne prostej ma postać

$$ 4x-6y+C=0 $$

Zostaje nam obliczyć współczynnik C. To równanie opisujące prostą p musi być spełnione dla wszystkich punktów, które leżą na prostej p. Oznacza to, że gdy za x, y podstawimy współrzędne punktu, który leży na prostej p, równość musi być prawdziwa. Wystarczy więc podstawić punkt A, przez który prosta p na pewno przechodzi. Punkt A ma współrzędne A = (5,13), więc do równania 4x − 6y + C = 0 podstawimy x = 5, y = 13:

$$\begin{eqnarray} 4\cdot5-6\cdot13+C&=&0\\ 20-78+C&=&0\\ C&=&78-20\\ C&=&58 \end{eqnarray}$$

Całe równanie ogólne prostej p ma więc postać

$$ 4x-6y+58=0. $$

Dwa wektory kierunkowe prostej p to $\vec{u}_1=[6, 4]$ i $\vec{u}_2=[-6, -4]$.