Önermeler Mantığı Örnekleri

Bu yazıda doğruluk tablosu yöntemiyle birkaç formülü ve onların olası değer atamalarını göstereceğiz.

Birinci Örnek

Şu formülün ne zaman doğru olduğunu bulmaya çalışalım: ϕ = (p ∧ q) ∨ ¬q. Tabloya p ve q önerme değişkenlerini yazalım:

$$\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Sonra tabloya formülün ilk kısmını, (p ∧ q)’yu, ¬q değilini ve ardından formülün tamamını ekleyelim:

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\wedge q& \mathrm{\neg }q& \varphi \\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Şimdi üçüncü sütunun değerlerini hesaplayalım; bu basit bir “ve” bağlacıdır. Aynı şekilde değil için de hesaplayalım — orada ikinci sütundaki değerlerin tersini yazmamız yeterli:

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\wedge q& \mathrm{\neg }q& \varphi \\ 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

Son olarak son sütunun değerlerini hesaplayalım. Bu, formülün tamamıdır. Tablomuza göre “üçüncü ve dördüncü sütun arasındaki” “veya” bağlacını hesaplıyoruz. Sonuç:

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\wedge q& \mathrm{\neg }q& \varphi \\ 1& 1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1\end{array}$$

İkinci Örnek

Aynı soru, başka bir formül: ϕ = (p ∧ ¬q) ⇔ (¬p ⇒ q). Formülde p ve q önerme değişkenleri ile bunların değillerinin olduğunu görüyoruz. Bu yüzden önce iki değişken ve bunların değillerinden oluşan bir tablo hazırlayalım:

$$\begin{array}{cccc}p& q& \mathrm{\neg }p& \mathrm{\neg }q\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}$$

Sonra p ∧ ¬q ve ¬p ⇒ q formüllerini ekleyelim; bunları artık kolayca değerlendirebiliriz, çünkü tabloda hem tek tek önermelerin hem de onların değillerinin değerleri var. Tablo şöyle görünür:

$$\begin{array}{cccccc}p& q& \mathrm{\neg }p& \mathrm{\neg }q& (p\wedge \mathrm{\neg }q)& (\mathrm{\neg }p\Rightarrow q)\\ 1& 1& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0\end{array}$$

En son formülün tamamını değerlendirmemiz kalıyor; bu, son iki sütun arasındaki denkliktir:

$$\begin{array}{ccccccc}p& q& \mathrm{\neg }p& \mathrm{\neg }q& (p\wedge \mathrm{\neg }q)& (\mathrm{\neg }p\Rightarrow q)& \varphi \\ 1& 1& 0& 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1\end{array}$$

Üçüncü Örnek

Üçüncü örnek biraz daha karmaşık olacak; üç önerme değişkeni deneyeceğiz, bu da tablonun hesabını zorlaştırır. Formül şöyle olacak: ϕ = (¬(p ⇒ q)) ∧ (r ⇔ (¬p ∨ q)).

Üç önerme değişkenimiz olduğu için değer atamalarının toplam sayısı sekiz olur:

$$\begin{array}{ccc}p& q& r\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Bundan sonra önceki durumdaki gibi ilerleyeceğiz; her sütunu sekiz satırın hepsinde değerlendireceğiz. Tablonun tamamı şöyle görünecek:

$$\begin{array}{ccccccccc}p& q& r& \mathrm{\neg }p& (p\Rightarrow q)& (\mathrm{\neg }p\vee q)& \mathrm{\neg }(p\Rightarrow q)& (r\iff (\mathrm{\neg }p\vee q))& \varphi \\ 1& 1& 1& 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1& 1& 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0\end{array}$$

Dördüncü Örnek

Bu örneği artık sıradan bir formül olarak değil, sözel bir problem olarak vereceğiz. Bol pasta ve meyve suyu ikram edilecek büyük bir doğum günü partisine gitmek isteyen üç arkadaş birbirini pek sevmiyor ve partiye hangi koşullarda gideceklerini belirliyor. Adları Mehmet, Can ve Emre. Kurallar şöyle:

1. Mehmet giderse Can da gider.
2. Partiye Emre gelir veya, eğer Mehmet gelirse, Can gelmez.
3. Emre ancak ve ancak Mehmet gelmiyorsa veya Can gelmiyorsa gelir.

Soru şu: Partiye hepsi birden gidebilir mi? Gidemiyorlarsa, hiçbir kuralı çiğnemeden partiye kimler katılabilir?

İlk olarak yukarıdaki sözel önermeleri önerme değişkenleri ve formüller olarak yazmamız gerekir. Önerme değişkenlerini M, C ve E (Mehmet, Can, Emre) olarak adlandıralım; her biri hep “Mehmet partiye gidecek” türünden bir önermeyi ifade edecek. İlk kuralı şöyle yazabiliriz: M ⇒ C — “M ise C”, yani “Mehmet partiye giderse Can partiye gider”.

İkinci kuralı şöyle yazalım. Kural “Partiye Emre gelir veya…” cümlesiyle başlıyor, yani açıkça bir “veya” bağlacına ihtiyacımız olacak. Şimdilik şunu yazalım: E ∨ … Cümlenin sonraki kısmı şöyle diyor: “eğer Mehmet gelirse, Can gelmez”. Bu bir koşullu önermedir ve sağ tarafta ayrıca değil kullanmamız gerekir. “Can gelmez” = ¬C. Koşullu önermenin tamamı şöyle görünür: M ⇒ ¬C. Bunu önceki “veya” bağlacına ekleriz: E ∨ (M ⇒ ¬C).

Üçüncü kuralı şöyle yazarız: “Emre ancak ve ancak” ile başlıyoruz. Bu bir denklik demektir: E ⇔ … Sonra “Mehmet gelmiyorsa veya Can gelmiyorsa” ifadesi var, bunu şöyle yazarız: ¬M ∨ ¬C. Hepsini birleştirelim: (E ⇔ (¬M ∨ ¬C)).

Şimdi tüm formülleri tabloya yerleştirip değerleri hesaplayalım:

$$\begin{array}{cccccc}M& C& E& (M\Rightarrow C)& (E\vee (M\Rightarrow \mathrm{\neg }C))& (E\iff (\mathrm{\neg }M\vee \mathrm{\neg }C))\\ 1& 1& 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0\end{array}$$

Soru, üç arkadaşın hepsinin partiye gidip gidemeyeceğiydi. Cevabı ilk satırda buluruz. O satır, hepsinin gideceği durumu gösterir; bunu ilk üç sütundaki üç bir belirtir. Tüm koşullar sağlanıyor mu? Birincisi evet (dördüncü sütun), ikincisi de evet (beşinci sütun), ama sonuncusu hayır (son sütun), orada sıfır var. Bu, üçü de giderse üçüncü koşulun sağlanmayacağı anlamına gelir.

Bu yüzden koşulları temsil eden konumlarda (yani son üç sütunda) hep bir olan satırları arıyoruz. Bir, koşulun sağlandığı anlamına gelir. Bunun iki durumda gerçekleştiğini görüyoruz. Can ile Emre gidip Mehmet gitmediğinde ve yalnızca Emre gittiğinde.

Tabloya üç koşulun “ve” ile birleşimi olan bir ϕ formülü ekleyerek de hesaplayabilirsin. Yani şöyle görünür: ϕ = ((M ⇒ C) ∧ (E ∨ (M ⇒ ¬C)) ∧ (E ⇔ (¬M ∨ ¬C))). Bu, istediğimiz şeyi gösterir — tüm formüllerin (tüm koşulların) sağlanmasını. Tablo o zaman şöyle görünür:

$$\begin{array}{ccccccc}M& C& E& (M\Rightarrow C)& (E\vee (M\Rightarrow \mathrm{\neg }C))& (E\iff (\mathrm{\neg }M\vee \mathrm{\neg }C))& \varphi \\ 1& 1& 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0\end{array}$$

Doğruluk Tablosu Yöntemiyle Birkaç Örnek

Verilen bir formülden tüm tabloyu otomatik olarak oluşturabilen bir program yazdığım için onu gereğince kullanmam gerek, o yüzden aşağıda çözülmüş birkaç formül daha var:

Formül: ((a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ (b ⇒ a))). Tablo:

$$\begin{array}{ccccc}a& b& (a\wedge \mathrm{\neg }b)& (b\wedge (b\Rightarrow a))& ((a\wedge \mathrm{\neg }b)\vee (b\wedge (b\Rightarrow a)))\\ 1& 1& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}$$

Formül: (a ∨ ¬a) ⇔ (b ∧ ¬b). Tablo:

$$\begin{array}{ccccc}a& b& (a\vee \mathrm{\neg }a)& (b\wedge \mathrm{\neg }b)& ((a\vee \mathrm{\neg }a)\iff (b\wedge \mathrm{\neg }b))\\ 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}$$

Formül: ¬(a ∨ b) ⇔ (¬b ∧ ¬a). Tablo:

$$\begin{array}{ccccc}a& b& \mathrm{\neg }(a\vee b)& (\mathrm{\neg }b\wedge \mathrm{\neg }a)& (\mathrm{\neg }(a\vee b)\iff (\mathrm{\neg }b\wedge \mathrm{\neg }a))\\ 1& 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1\end{array}$$

Formül: ϕ = (¬p ⇔ (q ∧ r)) ⇒ (p ∨ ¬(p ∧ q)). Tablo:

$$\begin{array}{cccccccc}p& q& r& (q\wedge r)& \mathrm{\neg }(p\wedge q)& (\mathrm{\neg }p\iff (q\wedge r))& (p\vee \mathrm{\neg }(p\wedge q))& \varphi \\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 1\end{array}$$

Formül: ϕ = ¬(p ⇔ ¬q) ∧ (r ⇒ ¬p) ∧ (p ∨ r). Tablo:

$$\begin{array}{ccccccc}p& q& r& \mathrm{\neg }(p\iff \mathrm{\neg }q)& (r\Rightarrow \mathrm{\neg }p)& (p\vee r)& \varphi \\ 1& 1& 1& 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0\end{array}$$