İspat Nedir

İspatlar bütün matematiğin temel taşlarıdır; ispatlar sayesinde birkaç küçük taştan koca bir piramit, üstelik baş aşağı bir piramit inşa edebilirsin.

İspatların Anlamı

İspatların matematikte anlamlı olmasının birkaç nedeni var. Asıl neden şudur: ispatların yardımı olmadan aklımıza gelen hiçbir düşünceyi ya da hipotezi doğrulayamayız. Örneğin asal sayıların sayısının sonlu olduğuna inanabiliriz, ama elimizde ispat yoksa bu yalnızca içi boş bir önerme olur. Öte yandan ispatlanmamış önermelerin de matematikte (ve başka yerlerde) anlamı vardır. Kısacası, asal sayıların sonlu sayıda olduğu varsayımı doğruysa… başka bir teorinin geçerli olduğu söylenir.

O zaman birinin bir süre sonra, aşağıda göstereceğimiz gibi, asal sayıların sonsuz çoklukta olduğunu ispatlamasına ve bütün teorimizin iskambil kâğıdından yapılmış bir ev gibi çökmesine şaşırmamalıyız. İspatlar sayesinde asla çökmeyecek iskambil evleri kurabiliriz.

İspatların okullarda öğretilmesinin nedeni şudur: ispatı anlayan kişi konuyu da anlar. İspatları kavramadan bir konuyu derinlemesine anlamak genellikle zordur. “Kavramak” sözcüğünü tamamen bilerek vurguladım; çünkü ispatları sınavdan bir gün önce ezberleyip ertesi gün kâğıda kusarsan, bu konuyu anlamaya daha yakın olduğun anlamına gelmez.

İspatlar, bir konuyu öğrenirken “bu neden böyle işliyor?” sorusunu yanıtlar. Bir şeyin neden işlediğini anlarsan onu daha kolay hatırlarsın ve bir süre sonra konuyu “ezberleyip yazma” yöntemiyle öğrenen birinden kesinlikle daha iyi anlarsın. Mesele, bunun senin hedefin olup olmadığıdır.

İspat Nedir

İspatın ne olduğu, matematiksel mantıkta örneğin sözdizimsel çıkarım yoluyla biçimsel olarak tanımlanır, ama biz çok daha basit bir tanımla yetineceğiz.

Her ispatın başında ispatlamak istediğimiz bir iddia olmalıdır. Bu iddiayı büyülü ϕ sembolüyle göstereceğiz. Bu, “fi” diye okunan bir Yunan harfidir. Ayrıca ϕ iddiasını ispatlamak için kullanacağımız, Ax ile göstereceğimiz bir aksiyomlar ve varsayımlar kümesine ihtiyacımız olacak. Aksiyomlar kümesi, zaten bildiğimiz, doğru olduğunu kabul ettiğimiz şeylerden oluşur. Örneğin “her çift sayı 2’ye bölünür” gibi şeyler olabilir. Ayrıca bu küme, başka bir yerde ispatlanmış ve doğru olduğunu zaten kabul ettiğimiz, ifadeleri düzenlemeye yarayan formülleri de içerebilir, örneğin:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Şimdi Ax kümesindeki iddiaları adım adım, ϕ iddiasına ulaşana kadar düzenleyeceğiz. Bütün düzenlemeler mantıksal olarak doğru olmalı, temel önermeler mantığına uymalıdır. Örneğin önceki formülü ispatlamak istersek şöyle ilerleriz: şu ifadeyi

$$(a+b{)}^2$$

denk işlemlerle, sağ taraftaki ifadeye ulaşana kadar düzenleriz. Göstereyim:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

İlk adımda üslü ifadeyi çarpım olarak yazdık, ikinci adımda parantezleri açtık, üçüncü adımda benzer terimleri topladık, son adımda ise çarpımı üslü ifade olarak yazdık. Her adım, yapmamıza izin verilen temel bir işlemdi; bu temel işlemlerin her birinin Ax kümesinde yer aldığını varsayıyoruz.

Önemli olan, her işlemin geçerli olması, yani zaten bildiğimiz bir şeyden çıkması gerektiğidir. Matematiksel ispat evrime benzer — küçük adımlarla bir ifadeden başka bir ifade elde ederiz.

Aşikâr İspatlar

Aşikâr ispat (ya da bariz ispat), tahtaya sığmayan, bu yüzden atlanan ve öğrencinin ödev olarak ders notlarından öğrendiği ispat için kullanılan teknik terimdir. :-) Şaka bir yana — aşikâr ispatlar, tipik olarak bir tanımdan tek bir aşikâr adımda çıkan ispatlardır.

Bir örnekle deneyelim: pozitif tam sayılar kümesini, yani ℤ⁺ = {1, 2, 3, …} sayılar kümesini ele alalım. Şimdi şu biçimdeki her kesrin:

$$\frac{q}{p};q,p\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

geçerli bir kesir olduğunu, yani verilen kesrin anlamsız olacağı bir q, p sayı çifti bulamayacağımızı söyleyebiliriz. Bunu nasıl ispatlardık? Önce kesrin ne zaman anlamsız olduğunu bulmamız gerekir. Kesir, paydada sıfır olduğunda anlamsızdır (sıfıra bölemeyiz). O hâlde tüm olası p değerleri için p ≠ 0 olduğunu ispatlamalıyız. Ama biz p sayısını, ℤ⁺ = {1, 2, 3, …} olarak tanımladığımız pozitif tam sayılardan alıyoruz. Pozitif tam sayılar kümesi sıfırı içermez, dolayısıyla p sayısı her zaman sıfırdan farklı olur.

$$\mathrm{\forall }p\in {\mathbb{Z}}^{+}:p\ne 0$$

İspat tamamlandı. Bir kesrin payı ve paydası pozitif tam sayılarsa kesrin geçerli olacağını biliyoruz.

Aşikâr ispatlar genellikle gerçekten aşikârdır, ama yalnızca çevresindeki bağlamı biliyorsan. Örneğin küme kavramını anlamıyorsan ya da p sayısının ℤ⁺ kümesinin elemanı olmasının ne anlama geldiğini bilmiyorsan, bu ispat da senin için aşikâr olmamıştır. Aşikâr ispatları basit olmaları değil, kısa olmaları ve (istediği kadar zor olabilen) bir bağlamdan kolayca çıkmaları belirler.

Karşıt Örnek

Karşıt örnek, verilen bir ifadenin doğru olmadığını göstermenin belki de en basit biçimidir. Burada önemli olan “değil” sözcüğüdür. Karşıt örnek, verilen önermenin geçerli olmadığı bir durumu gösterebilir; ama sınayabileceğimiz sonsuz sayıda eleman söz konusu olduğunda, ne kadar çok örnek olursa olsun, genel olarak yetmez.

Örnek: “her pozitif tam sayı 10’dan büyüktür”. Bunun doğru olmadığını nasıl ispatlarız? İddiamıza karşıt örnek, örneğin beş sayısıdır. Beş bir pozitif tam sayıdır ve 10’dan büyük değildir. İddiayı, 10’dan büyük birkaç pozitif tam sayı sıralayarak ispatlayamayız. “11, 12, 13, 123 ve 5345 pozitif tam sayıları 10’dan büyüktür, dolayısıyla bu önerme doğrudur” diyemezsin. Olmaz. Bu, iddiamızın geçerli olduğu birkaç örneği seçmekten ibaret; bu da hiç değinmediğimiz öbür sayılar hakkında hiçbir şey söylemez.

İkinci örnek: boyu iki metreden uzun her erkeğin gözleri kahverengi ya da mavidir. Karşıt örnek bulabilecek kişinin çok az olduğunu tahmin ediyorum. Bu bize verilen önerme hakkında ne söylüyor? Hiçbir şey. Karşıt örnek bulamıyorsak, bu önermenin mutlaka doğru olduğu anlamına gelmez. Karşıt örnek bir yerlerde olabilir, yalnızca şu an bulamıyoruz. Karşıt örnek bulamamak, iddianın doğru olduğunu ispatlamaz.

Doğrudan İspat

İspatın temel türü doğrudan ispattır. Kuru kuruya tanıma göre ilerleriz ve elde etmek istediğimiz önermeye ulaşana kadar ilk önermeyi düzenleriz. Tipik olarak A ⇒ B biçiminde, yani koşullu önerme biçiminde bir önermeyi ispatlamak isteriz; burada A başlangıç noktası, varsayım, B ise türetmek, ispatlamak istediğimiz önermedir. A önermesi doğruysa B önermesi de doğrudur. Çoğu zaman yalnızca B önermesi, yani ispatlamak istediğimiz şey verilir ve A önermesini uygun biçimde kendimiz seçmemiz gerekir.

Ardından, koşullu önermeler yardımıyla başka önermeler türettiğimiz ve son önermenin B olduğu bir süreç gelir. Şematik olarak şöyle yazılabilir:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Örnek olarak şu önermenin geçerli olduğunu ispatlayalım

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

Şimdi adım adım:

1. a>1 olduğundan kesinlikle a>0 ve a ≠ 0 da geçerlidir (aslında koşulu yalnızca zayıflatıyoruz).
2. a sıfıra eşit olmadığından ve pozitif olduğundan, a değişkeniyle eşitsizliğin tamamını çekinmeden çarpabiliriz. a sıfır olsaydı kesin eşitsizlik korunmazdı (0>0 elde ederdik), negatif olsaydı eşitsizliği ters çevirmemiz gerekirdi. a ile çarpınca a²>a ifadesini elde ederiz.
3. Bu noktada a>1 olduğunu ve aynı zamanda a²>a olduğunu biliyoruz. Bu iki ifadeyi birleştirirsek şunu elde ederiz: a²>a>1.
4. Buradan yalnızca ortadaki ifadeyi atarız ve a²>1 ifadesini elde ederiz. Buna izin verebildik, çünkü a birden büyüktür ve a², a sayısından büyüktür. a², a sayısından büyükse ve a aynı zamanda birden büyükse, a² kesinlikle birden büyüktür.

Sembolik olarak şöyle yazabiliriz:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Dolaylı İspat

Dolaylı ispat, koşullu önermenin özelliklerinden daha fazla yararlanır. A ⇒ B biçiminde bir önermeyi ispatlamamız gerekiyorsa, karşıt tersini kullanıp şunu ispatlayabiliriz:

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Bu yöntem bazen örneğin doğrudan ispattan daha elverişli olabilir. Çelişki ile ispat de benzer bir yol izler ve her dolaylı ispat çelişki ile ispata dönüştürülebilir. Şu önermeyi dolaylı olarak ispatlamayı deneyelim

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Şimdi koşullu önermenin karşıt tersini alalım:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

a ≠ b ise b sayısını b = a + x toplamı olarak yazabiliriz; burada x, b sayısının a sayısına uzaklığını gösterir. İfade şöyle değişir:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Çıkarabildiğimiz a değişkenlerini çıkaralım:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

x ≠ 0 olduğundan −x ≠ 0 da olur, dolayısıyla koşullu önerme geçerlidir. Önerme ispatlanmıştır, böylece ilk önerme de geçerlidir

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Diğer ispat teknikleri arasında örneğin az önce anılan çelişki ile ispat ve tümevarımla ispat vardır.

Diğer Kaynaklar

• Matematiksel ispat (Vikipedi)