Önermeler Mantığı

Önermeler (matematiksel) mantığı, matematiğin bir anlatım aracıdır; çeşitli terimlerle ve pek çok matematiksel teoremde karşımıza çıkar.

Mantık Ne İşe Yarar

Mantık; akıl yürütme, doğruluk, kanıtlanabilirlik ve çürütülebilirlik ile uğraşan bir bilimdir. Mantığı yalnızca ifadenin biçimi ilgilendirir; tam olarak neyin söylendiği, çeşitli psikolojik yorumlar ve benzeri şeyler bizi ilgilendirmez.

Örneğin “2 sayısı çifttir ve aynı zamanda tektir” cümlesi elimizdeyse, cümlenin tamamının doğru olmadığı sonucuna varabiliriz, çünkü 2 sayısı tek değildir. Mantığın genel olarak uğraştığı işler bunlardır.

Önerme

Önermeler mantığının temeli elbette önermedir. Doğruluk değerini belirleyebildiğimiz her bildirme cümlesi bir önermedir. Basit önerme örnekleri:

• Ankara, Türkiye’nin başkentidir.
• Beş doğal sayısı tek bir sayıdır.
• HTML bir programlama dilidir.
• İki artı üç altıdır.

Bunların hepsi önermedir. İlk ikisi doğru, son ikisi yanlıştır. Soru cümlesi ya da doğruluk değerini kesin olarak belirleyemediğimiz cümle ise önerme değildir. Yine bir örnek:

• Gelecek yıl da İstanbul Türkiye’nin en kalabalık şehri olacak mı?
• Yeşil en güzel renktir.

İlk cümle bir soru cümlesi olduğu için önerme olamaz; ikinci cümlenin ise doğru mu yanlış mı olduğuna karar veremeyiz. Böyle bir cümleye hipotez (varsayım) denir.

Klasik matematiksel mantık, “Ali uzun boyludur” ya da “Ayşe iyi bir şarkıcıdır” gibi belirsiz cümlelerle pek başa çıkamaz. Bu tür ifadeler, belirsizliğe uygun olarak geliştirilmiş bulanık mantıkta daha iyi ele alınır.

Basit Önerme

İlk bölümde “2 sayısı çifttir ve aynı zamanda tektir” önermesini örnek olarak vermiştik. Böyle bir önermeye bileşik önerme diyebiliriz, çünkü aslında iki kısa önermeyi birbirine bağlar: “2 sayısı çifttir” ve “2 sayısı tektir”. Bu iki önerme “ve” ya da “ve aynı zamanda” mantık bağlacıyla birleştirilmiştir.

Basit önerme ise artık daha fazla bölemediğimiz önermedir; bir anlamda en yalın tespittir. Önceki örnek önermeler aslında basit önermelerdi:

• Ankara, Türkiye’nin başkentidir.
• Beş doğal sayısı tek bir sayıdır.
• HTML bir programlama dilidir.
• İki artı üç altıdır.

Basit önermeleri bundan sonra alfabenin küçük harfleriyle, genellikle p, q, r, … ile göstereceğiz ve bunlara önerme değişkenleri diyeceğiz.

Mantık Bağlaçları

Matematiksel mantık genellikle belirli bir bağlaç kümesiyle çalışır. Temel olanlar dört tane ikili bağlaçtır:

• p ∧ q önermelerin “ve” bağlacıyla birleşimidir, “p ve (aynı zamanda) q önermesi” diye okunur
• p ∨ q önermelerin “veya” bağlacıyla birleşimidir, “p veya q önermesi” diye okunur
• p ⇒ q koşullu önermedir, “p ise q” diye okunur
• p ⇔ q denkliktir, “p ancak ve ancak q” diye okunur

Mantık bağlaçlarına somut örnekler:

• Samsun’un merkezinde yağmur yağıyor ve aynı zamanda güneş açıyor. (ve)
• Samsun’un merkezinde yağmur yağıyor veya güneş açıyor. (veya)
• Ali futbolu seviyor ve Ayşe resim yapmayı seviyor. (ve)
• Eğer çok acı biber yersen, o zaman kısa sürede su içmek isteyeceksin. (koşullu önerme)
• Eğer x sayısı dörde bölünüyorsa, o zaman ikiye de bölünür. (koşullu önerme)
• Elif güzeldir ve aynı zamanda zekidir. (ve)
• Şarkıcılar ancak ve ancak güzel oldukları zaman başarılıdır. (denklik)
• Yağmur yağmazsa ıslanmayız. (koşullu önerme)
• Eğer deve havada uçabiliyorsa, o zaman ben astronotum. (koşullu önerme)

Bir mantık bağlacı daha tanıyoruz: değil. Bir önermenin değili ya çizgiyle p′ (“p çizgi” diye okunur) ya da ¬p sembolüyle gösterilir.

Formül

Önerme değişkenlerini (basit önermeleri) ve mantık bağlaçlarını kullanarak daha karmaşık bir önerme oluşturabiliriz; buna formül diyeceğiz. Önceki listedeki cümlelerin hepsi aslında birer formüldü, çünkü iki basit formülümüz vardı, örneğin “Samsun’un merkezinde yağmur yağıyor” ve “güneş açıyor”, ve bunları mantık bağlaçlarıyla birleştirdik. İlk durumda “ve aynı zamanda” bağlacını kullanarak “Samsun’un merkezinde yağmur yağıyor ve aynı zamanda güneş açıyor” formülünü elde ettik, ikinci durumda “veya” bağlacını kullanarak “Samsun’un merkezinde yağmur yağıyor veya güneş açıyor” formülünü elde ettik.

Formülü biçimsel olarak şöyle tanımlarız:

• Her önerme değişkeni (basit önerme) bir formüldür (daha doğrusu buna basit formül diyebiliriz).
• A ve B formül ise ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) de formüldür.

Tanım anlamlıdır: birinci maddede her basit önermenin aynı zamanda bir formül olduğunu söylüyoruz. Yani iki basit önermemiz varsa, örneğin “Samsun’un merkezinde yağmur yağıyor” ve “güneş açıyor”, aynı zamanda iki formülümüz de vardır. Bu noktada ikinci maddeyi uygulayıp örneğin şöyle daha karmaşık formüller kurabiliriz:

• Samsun’un merkezinde yağmur yağıyor ve aynı zamanda güneş açıyor.
• Samsun’un merkezinde yağmur yağıyor veya güneş açıyor.
• Eğer Samsun’un merkezinde güneş açıyorsa, o zaman yağmur yağıyor.
• Samsun’un merkezinde güneş ancak ve ancak yağmur yağıyorsa açıyor.

Formüllerin doğru olması elbette şart değildir. Şu an yeni bir formül kümesi elde ettik, dolayısıyla daha da karmaşık formüller kurabiliriz. A=“Samsun’un merkezinde güneş açıyor veya yağmur yağıyor.” (bunun bir formül olduğunu zaten biliyoruz) ve B=“gökkuşağı görülüyor” (yine Samsun’un merkezinde olduğunu varsayalım, sürekli tekrarlamayalım) diyelim; o zaman yeni formüller oluşturabiliriz. Cümlelerdeki parantezler bağlacın hangi kısımlara ait olduğunu gösterir.

• A ∧ B: (Samsun’un merkezinde güneş açıyor veya yağmur yağıyor) ve aynı zamanda (gökkuşağı görülüyor).
• A ∨ B: (Samsun’un merkezinde güneş açıyor veya yağmur yağıyor) veya (gökkuşağı görülüyor).
• A ⇒ B: (Eğer Samsun’un merkezinde güneş açıyor veya yağmur yağıyorsa), o zaman (gökkuşağı görülüyor).
• A ⇔ B: (Samsun’un merkezinde güneş açıyor veya yağmur yağıyor) ancak ve ancak (gökkuşağı görülüyor).

Bunların hepsi formüldür. Dolayısıyla yine bu formüllerden birini alıp ona başka bir formül ekleyebiliriz. Böylece örneğin şu acayip cümleyi kurabiliriz: “Eğer Samsun’un merkezinde güneş açıyor veya yağmur yağıyor veya gökkuşağı görülüyorsa, o zaman güneş açıyor veya yağmur yağıyor ancak ve ancak gökkuşağı görülüyorsa.”

Bir sonraki bölümde formüllerin doğruluğunu inceleyeceğiz.