Pascal Üçgeni

Pascal üçgeni sayılardan oluşur ve başka iki sayının altında bulunan sayı, onların toplamına eşittir. Gelin böyle bir Pascal üçgeni oluşturalım, ardından neler için işe yarayabileceğini gösterelim.

Pascal Üçgeni Nasıl Oluşturulur

Üçgenimizin kenarlarına hep birler yazarız, üçgenin içini şimdilik soru işaretleriyle doldururuz:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Şimdi ilk soru işaretini hesaplarız — üstündeki iki sayıyı toplarız, böylece 1 + 1 = 2 elde ederiz:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Sonraki satırdaki soru işaretlerini de benzer biçimde hesaplarız. Önce 1 + 2 = 3 elde ederiz:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Sonra 2 + 1 = 3 elde ederiz:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Böyle devam ederiz ve her yeni satırla Pascal üçgeninin bir parçasını daha elde ederiz:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Pascal üçgeni elbette sonsuzdur, durmadan yeni satırlar oluşturabiliriz. Ama her zaman kenarlarda birler, üçgenin içinde ise üstündeki sayıların toplamı olarak ortaya çıkan sayılar bulunur. Örneğin son satırdaki 15 sayısı, üstündeki 5 ve 10 sayılarının toplamı olarak oluştu.

Pascal Üçgeninin Temel Özellikleri

İlk temel özelliği zaten söyledik: üçgenin kenarlarında her zaman birler vardır:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

“İkinci sırada” her zaman bütün pozitif tam sayılar bulunur:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Bu arada Pascal üçgeninin simetrik olduğunu fark ettin mi? Her satır, soldan sağa da okusan sağdan sola da okusan aynıdır.

Üçgensel Sayılar

Üçüncü sırada ise 1, 3, 6, 10, 15… sayıları vardır.

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Bunlarda ilginç olan ne? Bu sayılara üçgensel sayılar denir. Elinde birkaç daire olduğunu ve bunları üçgen biçiminde dizmek istediğini düşün. Kaç daireye ihtiyacın olurdu? Şu şekle bir göz at:

Kenarı 1 olan bir üçgen için tam olarak bir daireye ihtiyacımız olduğunu görüyoruz. Kenar uzunluğu iki için üç daire, üç için altı daire, dört için on daire gerekir. İhtiyacımız olan daire sayısı her zaman Pascal üçgeninde bulabileceğimiz bir üçgensel sayıdır.

Satır Toplamı

Pascal üçgenindeki her satırı toplamayı denesek ne olur?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Her satırın toplamının bir önceki satırın toplamının iki katı olduğunu görüyoruz. Yani bütün toplamlar ikinin bir kuvvetine eşittir. En üstteki satıra sıfırıncı satır dersek, Pascal üçgeninin n. satırının toplamının 2ⁿ olduğunu yazabiliriz.

Asal Sayılar

Üçgenin en üstteki satırına sıfırıncı satır diyelim. O zaman, n bir asal sayı olmak üzere herhangi bir n. satırı seçersek, bu satırdaki bütün sayılar (kenardaki birler hariç) tam olarak n sayısına bölünebilir.

Örnek olarak n = 5 alalım. Beş bir asal sayıdır. Beşinci satır ise şöyle görünür:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

İşaretlenen bu sayıların her biri beşe bölünebilir.

Binom Açılımı

(a + b)² ya da (a + b)³ ifadelerini hesaplamak için kullanılan formülleri mutlaka biliyorsundur:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Her terimin katsayılarının Pascal üçgenindeki sayılara karşılık geldiğini fark edebiliriz. Örneğin şu ifadeye bakalım:

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Daha belirgin olması için önce a³ ve b³ terimlerine birle çarpmayı yazalım:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Şimdi terimleri çarptığımız katsayıların, Pascal üçgeninin üçüncü satırıyla aynı olduğunu görüyoruz (en üstteki satırı sıfırıncı sayarsak):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Ama bu konu, binom açılımı hakkındaki ayrı bir yazıda ele alınıyor.