Faktöriyel

n sayısının faktöriyeli, 1’den n’ye kadar tüm sayma sayılarının çarpımıdır. Faktöriyeli ünlem işaretiyle yazarız: n!. Sıfır için ise 0! = 1 olarak kabul edilir. Faktöriyel en çok kombinatorikte kullanılır; örneğin permütasyon sayısı onunla hesaplanır. Mesela beşin faktöriyeli 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 olur.

Faktöriyelin Tanımı

Faktöriyeli farklı biçimlerde tanımlayabiliriz. En basiti herhalde şudur:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{eğer n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{aksi halde}\end{array}$$

Çarpım sembolüyle de tanımlayabiliriz:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

İstersek integral yardımıyla da yazabiliriz:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Faktöriyellerle Hesaplama

Faktöriyellerle çoğu zaman kesirlerde işlem yapılır. Burada n! = n · (n − 1)! eşitliğinden yararlanırız. Bu eşitlik tanımdan gelir; bir örnekle görelim. Dördün faktöriyeli 4!, şu doğal sayıların çarpımına eşittir: 4 · 3 · 2 · 1. Burada 3 · 2 · 1 çarpımının üçün faktöriyeline eşit olduğunu yazabiliriz: 3 · 2 · 1 = 3!. O zaman dördün faktöriyelini 4! = 4 · 3! biçiminde yazabiliriz.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Bu sayede kesirlerdeki birçok faktöriyeli kolayca sadeleştirebiliriz. Örnek soru: ifadeyi sadeleştir:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Sadeleştirmeyi az önce söylediğimiz eşitliğe göre yaparız. Pay olan faktöriyeli n · (n − 1)! olarak yazabiliriz, bunu da (aynı eşitlikle) n · (n − 1) · (n − 2)! biçiminde açabiliriz. Artık kesri rahatça sadeleştirebiliriz:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Bir örnek daha:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Faktöriyelle ilgili son örnek:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$