Değişkeni Yalnız Bırakma

Daha karmaşık bir bağıntıdan ya da kesirden belirli bir değişkeni nasıl çekeriz? Bu teknik özellikle birden fazla değişkenin bulunduğu çeşitli formüllerle çalışırken kullanılır. Başka formüllerle birleştirince akıl almaz işler başarabilir, yoktan her şeyi türetebiliriz.

Basit Doğrusal İfadeler

Şu formülü ele alalım: ax + b = c. Bu hayali formülden x’i nasıl yalnız bırakırız? Her zaman şöyle başlarız: yalnız bırakacağımız değişkeni içeren tüm terimleri sol tarafa, geri kalanını sağ tarafa alırız. Kuramsal olarak hangisinin nerede olduğu fark etmez, ama genellikle yalnız bırakmak istediğimiz bilinmeyen solda tutulur. Önce b’yi sağ tarafa geçiririz, yani eşitliğin iki tarafına −b ekleriz:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Değişkenli ifade tek tarafta, ama oradaki a hâlâ engel oluyor. Ondan nasıl şık biçimde kurtuluruz? ax ifadesine ne yapmalıyız ki yalnızca x kalsın? Evet, ifadeyi, dolayısıyla tüm denklemi a’ya böleriz, yani $\frac{1}{a}$ ile çarparız. Burada a değeri sıfırdan farklı olmalıdır (sıfıra bölemeyiz). Böyle yaparsak şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Tamam. Başka bir örnek:

$$2ax-3bx=10a$$

Yine x’i yalnız bırakmamız isteniyor. Bilinmeyenli terimler zaten sol tarafta, yani işimiz biraz kolay. Ama zorluk şu ki bilinmeyenli iki terim var. Durumu ortak çarpan parantezine alarak çözeriz. Denklemin sol tarafından x’i ortak çarpan olarak çıkarırız ve şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Önceki örnekte ax ifadesi vardı ve yalnızca x istiyorduk; tüm denklemi $\frac{1}{a}$ ile çarpmıştık. Şimdi denklemde x(2a − 3b) ifadesi var ve yine x’i bilmek istiyoruz. Aynısını yaparız, tüm denklemi (2a − 3b) ifadesine böleriz. Korkma, denklemi gerçekten de parantezin tamamına bölebiliriz, yeter ki 2a − 3b ≠ 0 olsun.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Kesirler

Kesirli bir ifademiz varsa aynı denklem düzenlemelerini kullanırız; yalnızca yanlışlıkla sıfıra bölmemeye ya da sıfırla çarpmamaya dikkat etmeliyiz. Örnek:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

x’i yalnız bırakmak istiyoruz. Tüm denklemi x ile çarparız; yalnızca x ≠ 0 varsayımını eklememiz gerekir. Zaten bu her hâlükârda geçerlidir, çünkü denklemde $\frac{a}{x}$ kesri var ve x paydadadır; sıfıra ise bölemeyiz. Böylece şu denklemi elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Bilinmeyeni yalnız bırakırken kısacası olağan denk denklem düzenlemelerini kullan.