Formüllerin Doğruluk Değeri

Bazı basit önermelerimiz var ve bunlardan bir formül kurduysak, formülün tamamının doğru mu yanlış mı olduğuna karar vermeye çalışabiliriz.

Önermenin Doğruluğu

Önce bir önermenin doğruluk değerinin ne olduğunu açıklayalım. Elimizde bir p önermesi varsa, onun doğru mu yanlış mı olduğuna karar verebilmemiz gerekir. Doğru önermenin doğruluk değeri 1, yanlış önermenin doğruluk değeri 0 olur.

Doğruluk değeri ataması ise verilen önermeye 0 ya da 1 değerini karşılık getiren bir e kuralıdır. e(p) yazarsak p önermesinin doğruluğunu öğrenmek istiyoruz demektir. p, “iki kere iki dört eder” önermesine eşitse e(p) = 1 olur, çünkü bu doğru bir önermedir. q, “Mehmet bir kadındır” önermesine eşitse e(q) = 0 olur, çünkü Mehmet kadın değildir. Demek ki e, bir önermenin doğru olup olmadığını bize veren bir fonksiyondur.

Burada şunu unutmamak gerekir: e dünyadaki her şeyi bilen sihirli bir fonksiyon değildir. Ona ne söylersek öyle davranır. O, Mehmet’in erkek mi kadın mı olduğunu bilmez. Hesaplamanın başında değerlendirme fonksiyonunun nasıl davranacağını biz belirlemeliyiz. Ona Mehmet’in kadın olduğunu söylersek, bize e(q) = 1 değerini verir.

Mantık Bağlaçlarının Doğruluğu

Bir formülün doğruluğunu belirleyebilmek için mantık bağlaçlarının doğruluğunu nasıl değerlendireceğimizi bilmemiz gerekir. Yani e(p) ve e(q) değerlerini biliyorsak, p ∧ q, p ⇒ q gibi formüllerin doğruluk değeri ne olur.

Her bağlaç farklı davranır ve farklı bir iş için kullanılır, bu yüzden her birini ayrı ayrı inceleyeceğiz.

“Ve” bağlacı p ∧ q ile gösterilir ve “p ve aynı zamanda q” diye okunur. Örnek olarak “Türkiye hem Asya’da hem Avrupa’da toprağa sahiptir ve aynı zamanda başkenti Ankara’dır” formülünü alalım. Bu cümlenin tamamı ne zaman doğru olur?

Doğruluğu belirlemede “ve aynı zamanda” bağlacının kendisi bize yardım eder. Bu bağlaç, soldaki ve sağdaki iki önermenin de doğru olmasını açıkça ister. Yani p ve q önermelerinin ikisi de doğruysa, yani e(p) = 1 ve e(q) = 1 ise, “ve” ile kurulan önermenin tamamı da doğrudur. Aksi durumda, yani önermelerden biri yanlışsa ya da ikisi de yanlışsa, formülün tamamı yanlıştır.

Doğru olmayan bir “ve” örneği şu olabilir: “Kızılırmak bir nehirdir ve aynı zamanda Kızılırmak Rusya’dan akar.” Kızılırmak’ın bir nehir olduğu doğrudur, ama Rusya’dan aktığı doğru değildir, bu yüzden “ve” ile kurulan önermenin tamamı doğru değildir.

Bunu aşağıdaki tablo düzenli biçimde gösterir:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\wedge q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$$

İlk iki sütunda p ve q önermelerinin doğruluk değerleri, üçüncü sütunda ise p ∧ q formülünün doğruluk değeri vardır.

“Veya” bağlacı p ∨ q ile gösterilir ve “p veya q” diye okunur. Örnek: “Rusya Avrupa’da veya Asya’dadır.” Cümlenin tamamı ne zaman doğru olur?

“Veya” için seçeneklerden en az birinin doğru olması yeter. “Veya” bağlacı bize seçim hakkı verir; sol ya da sağ kısmın doğru olması yeterlidir. Günlük konuşmadan tek küçük fark, mantıktaki “veya”nın iki önerme birlikte sağlandığında da doğru olmasıdır. Bu pek alışkın olduğumuz bir şey değildir; günlük konuşmada “veya”yı çoğunlukla dışlayıcı anlamda kullanırız, yani “ya … ya da …” gibi.

Bununla ilgili klasik bir fıkra var: Bir aile ikinci el pazarında yeni bir araba seçiyor. Baba satıcıya “mavi veya kırmızı bir araba almaya karar verdik” diyor. Satıcı onlara iki arabayı da satıyor. Bu, mantıktaki “veya” ile konuşma dilindeki “veya” arasındaki farkın bir örneğidir: baba herhalde bu arabalardan yalnızca birini seçeceklerini kastetmişti, satıcı ise onlara ikisini de satmayı geçerli bir seçenek saymıştı.

Rusya ile ilgili önceki cümle doğrudur, çünkü iki önerme de doğrudur. “7 sayısı 3’e bölünür veya 7 sayısı asaldır” cümlesi de doğrudur, çünkü yedi asal bir sayıdır. Üçe bölünmüyor olması gerçi doğru, ama bu bizi rahatsız etmez. Doğruluk değerleri tablosu:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\vee q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Koşullu Önermenin Doğruluğu

Koşullu önerme p ⇒ q ile gösterilir ve “p ise q” diye okunur. Koşullu önermeye örnek olarak “çok fazla deniz suyu içersek kusarız” cümlesini verebiliriz. Cümle ne zaman doğrudur?

Mantıktaki koşullu önerme tüm bağlaçların en tuzaklısıdır ve günlük konuşmada da çoğu zaman yanlış anlaşılır, denklikle karıştırılır. Koşullu önermenin karşıtının da aynı anda geçerli olup olmadığı sorusunu cevaplamaya çalışalım: q ⇒ p.

Çok fazla deniz suyu içersek kusacağımızı biliyoruz. Peki kusuyorsak çok fazla deniz suyu içtiğimiz de doğru mudur? Kesinlikle hayır; tamamen başka bir şey içmiş olabiliriz ve yine de kendimizi kötü hissedebiliriz ya da kendimizi kötü hissetmemizin sebebi tamamen başka bir şey olabilir. Yani karşıt önerme kendiliğinden geçerli olmak zorunda değildir. p ⇒ q doğruysa ve aynı zamanda q ⇒ p de doğruysa, bu bir denkliktir, aşağıya bakın.

Başka bir örnek: “yarın yağmur yağarsa Ali yanına şemsiye alır.” Şimdi sana Ali’nin yanına şemsiye aldığını söylüyorum. Soru şu: o gün yağmur yağdı mı? Pek çok insan elbette yağdığını söyleme eğiliminde olur; sonuçta yağmur yağacağı için Ali yanına şemsiye almıştır. Ama asıl cümle böyle kurulmuş değil!

Ali aslında hakkında hiçbir fikrimiz olmayan başka bir sebepten dolayı şemsiye almış olabilir. Belki Ali teyzesine her gittiğinde ona şemsiyesini geri vermek için yanına şemsiye alır. Ya da yeni bir şemsiye almaya karar verdi ve eskisini atmak istiyor. Bunların hepsi, yağmur yağmamış olsa bile Ali’nin şemsiye almasının meşru sebepleridir.

Şimdi koşullu önermenin ne zaman doğru olduğu sorusunu cevaplayabiliriz. İki önerme de doğruysa koşullu önerme kesinlikle doğrudur: “42 doğal bir sayıysa, pozitiftir.” İki önerme de doğrudur, dolayısıyla koşullu önermenin tamamı doğrudur. Bir başka örnek “42 doğal bir sayıysa, negatiftir” koşullu önermesidir. Bu koşullu önerme doğru değildir, çünkü doğru bir önermeden doğru olmayan bir şey çıkarmaya çalışıyoruz.

Son olarak ilk önermenin yanlış olduğu durumlar kalıyor. Bu durumda ikinci önermenin doğruluğu artık bizi ilgilendirmez. Yanlıştan yola çıkıyorsak, istediğimiz saçmalığı söyleyebiliriz. Bunlar “1 negatif bir sayıysa, o zaman güneş yeşildir” ya da “Ankara bir deniz ise, o zaman güneş mavidir” gibi cümlelerdir. Böyle durumlarda koşullu önerme kendiliğinden doğrudur, çünkü kısaca yanlıştan yola çıkar. Tablo:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\Rightarrow q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Denkliğin Doğruluğu

Denklik p ⇔ q ile yazılır ve “p ancak ve ancak q” diye okunur. Denkliğe örnek olarak “x sayısı ikiye bölünür ancak ve ancak çifttir” verilebilir. Cümlenin tamamı ne zaman doğrudur?

Denklikte iki önermenin öyle bir uyum içinde olmasını bekleriz ki ya ikisi de geçerlidir ya da hiçbiri geçerli değildir. Yani ya x sayısı hem çifttir hem de ikiye bölünür, ya da bunların hiçbiri doğru değildir. x çift olduğu hâlde ikiye bölünmediği bir durum olamaz.

Örnek: “Can ancak ve ancak tuvalette oturuyorsa kitap okur.” Denkliğin sağlanması için Can tuvalette oturduğunda her zaman kitap okuyor olmalıdır. Aynı zamanda kitap okuduğunda her zaman tuvalette oturuyor olmalıdır. Kitabı örneğin yatağında okuması söz konusu olamaz.

Denkliği iki koşullu önermeyle ifade edebiliriz. Yani p ⇔ q ifadesini p ⇒ q ve aynı zamanda q ⇒ p olarak yeniden yazabiliriz. Tablo:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\iff q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Değil

Önermenin değili tekli bir işlemdir; ya çizgiyle p' ya da şu sembolle gösteririz: ¬p. Önermenin değili, ilk önermeyi olumsuzlar. “Ayşe bir şarkıcıdır” önermesi elimizdeyse, değili olarak “Ayşe’nin şarkıcı olduğu doğru değildir” ya da kısaca “Ayşe şarkıcı değildir” önermesini elde ederiz. Hemen her zaman, önermeyi “… olduğu doğru değildir” kalıbına sokarak değilini oluşturabiliriz.

Önermenin değili doğruluk değerini tersine çevirir, yani 0’ı 1, 1’i 0 yapar. Böylece ¬0 = 1 ve ¬1 = 0 yazabiliriz.

Bazı tuzaklara dikkat et. “Kireç beyazdır” önermesi olsun. Değili nedir? Birinin aklına “kireç siyahtır” gelebilir, ama bu doğru değil! Yukarıdaki kuralı kullanırsak değili “kirecin beyaz olduğu doğru değildir” önermesidir. Bu, kirecin mutlaka siyah olması gerektiği anlamına mı gelir? Hayır, örneğin pembe de olabilir.

Tüm Bağlaçların Tablosu

$$\begin{array}{cccccc}p& q& p\wedge q& p\vee q& p\Rightarrow q& p\iff q\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}$$

Formülün Tamamının Doğruluğu

Artık bir mantık bağlacıyla birleştirilmiş iki önermenin doğruluğunu değerlendirebiliyoruz. Formülün tamamını da tamamen benzer şekilde değerlendiririz. (p ⇒ q) ∧ r formülümüz varsa, (p ⇒ q) formülünü örneğin 1 olarak değerlendirdiğimiz anda, çözmeyi zaten bildiğimiz klasik bir 1 ∧ r “ve” bağlacı elde ederiz.

En basit mantık bağlaçlarını adım adım uygulayarak formülün tamamının sonuç doğruluk değerine ulaşırız. Bunun için çoğu zaman, ilerleyen bölümde anlatılan doğruluk tablosu yöntemi kullanılır.

Doğruluk Tablosu Yöntemi

Doğruluk tablosu yöntemi daha karmaşık formülleri değerlendirirken kullanılır. İlk n sütuna, formülde geçen n önerme değişkenini yazarız, sonraki sütunlara ise formülün içerdiği alt formülleri sırayla yerleştiririz. Bir örnekle daha açık olacak:

(p ∨ q) ∧ (q ⇒ p) formülü olsun. Başlangıçta tabloya tüm önerme değişkenlerini, yani p ve q’yu ve doğruluk değeri atamalarının tüm kombinasyonlarını yazarız:

$$\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Sonra p ∨ q ve q ⇒ p alt formülleri için sütunlar ekleriz.

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Şimdi bu formülleri değerlendirip sütunlara sıfır ya da bir yazarız. Tabloda gereken tüm bilgiler var. Şöyle ilerleriz: birinci satırda p ∨ q formülünü değerlendirirken p yerine 1, q yerine de 1 yazarız. Böylece 1 ∨ 1 ifadesini elde ederiz. Bu ifadenin değeri yine 1’dir, bu yüzden tabloya bir yazarız:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Tüm tabloyu böyle adım adım dolduruyoruz:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

Şimdi formülün tamamını değerlendirmek kaldı. Ona örneğin φ = (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p) adını verelim. Tabloya φ için bir sütun ekleyip değerlendiririz; bunun için önceki iki sütunu kullanırız.

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p& \phi \\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}$$

Tablo tamamlandı ve formülün tüm olası değer atamalarındaki doğruluk değerini bize gösteriyor. Örneğin e(p) = 1 ve aynı zamanda e(q) = 1 ise formül doğrudur. e(p) = 0 ve e(q) = 1 ise formül doğru değildir.

Dikkat et: “formül doğrudur” diyemeyiz. Bu cümle anlamlı değildir, çünkü formülün doğru olduğunu söyleyebilmek için formülün hangi değer atamasında doğru olduğunu söylememiz gerekirdi. Yani “φ formülü e₁ atamasında doğrudur ve e₂ atamasında doğru değildir” diyebiliriz.

Formülün doğru olduğunu söyleyebileceğimiz tek durum, formülün tüm olası atamalarda doğru olmasıdır. Örneğin p ∨ ¬p formülü tüm atamalarda doğrudur, dolayısıyla formülün doğru olduğunu söyleyebiliriz. Formülün tüm atamalarda yanlış olduğu durum için de benzer şekilde söylenir.

Bu tür formüllerin özel adları vardır. Tüm atamalarda doğru olan formüle totoloji denir. Hiçbir atamada sağlanmayan formüle ise çelişki denir.