Sayı Dizileri Nasıl Çözülür

Sayı dizileri çeşitli mantık testlerinde kullanılır. Sana birtakım sayılardan oluşan bir dizi verilir ve görevin, dizinin devamında mantıken hangi sayının gelmesi gerektiğini bulmaktır. Bu yazıda bu tür sayı dizilerinin nasıl çözüleceğini göstereceğiz.

Soru

Sayı dizisi sorusunun klasik hâli şöyledir:

$$2,4,6,8,10,?$$

Görevin, soru işareti yerine konabilecek ve en mantıklı görünen sayıyı bulmaktır. Bunun için verilen sayılar arasında karakteristik bir özellik bulmalı ve eksik sayıyı onun yardımıyla hesaplamalısın. Bu örnekte sonuç 12 sayısıdır, çünkü dizideki her sayı kendinden önceki sayıdan her zaman 2 fazladır.

Çözüm her zaman tek olmak zorunda değildir. Bu seçimi savunabildiğimiz sürece soru işareti yerine istediğimiz sayıyı koyabiliriz, denebilir.

Toplama ve Çarpma

En basit dizilerden biri, yalnızca belli bir sayının eklendiği dizilerdir. Örnekler:

$$3,10,17,24,?$$

Burada her seferinde 7 eklenir, dolayısıyla soru işaretinin yerine 31 gelir. Başka bir örnek:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Her seferinde 3 ekleriz, dizideki sonraki sayı 4 olur. Başka bir örnek:

$$17,8,-1,-10,?$$

Bu dizide −9 ekleriz, yani 9 çıkarırız. Dizideki sonraki sayı −19 olur. Başka bir örnek:

$$2,4,8,16,?$$

Burada artık toplamıyoruz, çarpıyoruz. Her sayı kendinden öncekinin iki katıdır, dolayısıyla sonuç 32 olur. Başka bir örnek:

$$27,9,3,1,?$$

Bu dizide ise tersine üçe böleriz. Sonuç $\frac{1}{3}$ olur. Sabit olmayan bir sayı da ekleyebiliriz:

$$2,4,7,9,12,?$$

+2 ile +3 eklemeyi dönüşümlü yaparız. Yani 2’ye +2 ekleriz, 4 elde ederiz. Sonra +3 ekleriz ve 7 elde ederiz. Böyle devam eder. 12’ye 2 ekleriz ve 14 elde ederiz. Başka bir örnek:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

Bu dizide her adımda bir önceki adımdakinden bir fazla sayı ekleriz ve +1 ile başlarız. Yani 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 ve böyle devam eder. En sonunda 6 ekleriz, dolayısıyla sonuç 20 + 6 = 26 olur. Başka bir örnek:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

İki ile ve üç ile çarpmayı dönüşümlü yaparız. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 ve böyle devam eder. En sonunda üç ile çarparız, dolayısıyla sonuç 216 olur.

Dizileri Dönüşümlü Kullanma

Dizileri ve işlemleri birleştirebiliriz. Örneğin bir kez toplama, bir kez çarpma kullanabiliriz:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Burada önce dört ile çarparız, sonraki adımda iki ekleriz. Yani: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56 ve böyle devam eder. En sonunda iki ekleriz, dolayısıyla sonuç 234 olur. Benzer bir örnek:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Önce üç ile çarparız, sonra dört çıkarırız. Yani: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 ve böyle devam eder. En sonunda üç ile çarparız, sonuç 87 olur.

Diziler öyle birleştirilebilir ki tek bir dizinin içinde aslında iki dizi bulunur ve bunların her birinin kendi karakteristik özelliği vardır. Örnek:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

Tek numaralı konumlarda bildiğimiz 2, 4, 8, 16, 32 dizisi var, yani her sayı bir öncekinin iki katıdır. Çift numaralı konumlarda ise 1, 6, 11, 16, ? dizisi var. Bu dizide her seferinde yalnızca beş eklenir. Sonuç bu yüzden 16 + 5 = 21 olur. Bir örnek daha:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

Bu dizide iki alt dizi bulabiliriz. Tek numaralı konumlarda 2, 3, 5, 8, 12 var; bu, her adımda bir öncekinden bir fazla sayı eklediğimiz bir dizidir. Çift numaralı konumlarda ise 7, 11, 15, 19, ? var. Yani yalnızca dört ekleriz. Sonuç 23 olur.

Klasik Diziler

Anılmaya değer bazı klasik diziler vardır. Başlayalım:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … — pozitif tam sayıların karelerinden oluşan dizi. Başka bir yazılışla: 1², 2², 3², 4², 5², … Bir dizide bu sayılardan birini, özellikle büyüklerinden birini görürsen, işin içinde tam da kare almanın olması kuvvetle muhtemeldir.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — bu, ünlü Fibonacci dizisidir. Her sayı, kendinden önceki iki sayının toplamı olarak tanımlanır. Yani sondan başlayarak: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 ve böyle devam eder. İlk iki sayı, sıfır ile bir, baştan belirlenmiştir.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … — asal sayıların dizisi. Yalnızca şuna dikkat et: 1 asal sayı değildir.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … — faktöriyellerin dizisi. n. konumdaki sayı 1 · 2 · 3 · … · n çarpımıyla verilir. Örneğin dördüncü konumdaki sayı 24’tür, yani 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Başka Dizi Türleri

Örnek:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

Çözüm şudur: birinci ve ikinci yerdeki sayıları toplarsak yirmi elde ederiz: 17 + 3 = 20. Sonraki çiftlerde de aynıdır: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. Soru işareti yerine bu yüzden bir gelmelidir. Başka bir örnek:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

Bu dizide sayıları a, b, c üçlülerine ayırırız ve a + b = c olur. Yani ?+7 = 12 ve 4 + 5 = 9. Soru işareti yerine bu yüzden 5 gelir. Başka bir örnek:

$$2,4,10,28,?$$

Burada iki işlemi birleştirdik: çarpma ve çıkarma. Sonraki sayıyı, öncekini üçle çarpıp bir de iki çıkararak elde ederiz. Yani: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Dizide sonraki sayı 28 · 3 − 2 = 82 olur.