Біном Ньютона

Біном Ньютона — це узагальнення класичних формул на кшталт (a + b)² за допомогою комбінаторних методів.

Мотивація

Ти, звісно, знаєш формули для обчислення (a + b)² або (a + b)³:

$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray}$$

Природно виникає питання, чи не можна узагальнити ці формули на довільне натуральне число n, тобто чи можна обчислити (a + b)ⁿ?

Виведення

Звісно, можна, і саме для цього служить біном Ньютона. Спробуймо подивитися, як цей розклад продовжується для n = 4 та n = 5.

$$\begin{eqnarray} (a+b)^4 &=& a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\\ (a+b)^5&=&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \end{eqnarray}$$

Ти вже, мабуть, бачиш певну закономірність. Якщо маємо вираз (a + b)ⁿ, то в правій частині завжди починаємо з доданка aⁿ. Другий доданок теж містить змінну a, але показник степеня на одиницю менший. Для прикладу: у розкладі (a + b)⁴ у правій частині в першому доданку маємо a⁴, а в другому a³. Кожен наступний доданок містить змінну a з показником на одиницю меншим, ніж попередній. Змінна b натомість зростає. На початку змінної b немає, точніше, є, але з показником нуль: b⁰ = 1. У другому доданку b має показник один, потім два і так далі.

При цьому діє просте правило: сума показників завжди дорівнює n. Якщо взяти останній розклад (a + b)⁵, то, наприклад, третій доданок — це 10a³ · b², і сума показників у змінних a та b дорівнює саме 5.

Останнє, що лишилося, — які будуть коефіцієнти (числа перед змінними) при кожному доданку. Ти напевно помітиш, що ці коефіцієнти симетричні: у (a + b)⁴ маємо коефіцієнти 1,4,6,4,1, у (a + b)⁵ маємо: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Нагадую, що a⁴ = 1 · a⁴, тому одиницю там пишу, хоча у формулах явно її не наводжу. Ще одну залежність покажемо на трикутнику Паскаля.

Трикутник Паскаля

Трикутник Паскаля — зручний помічник під час обчислення розкладу за біномом Ньютона. Трикутник Паскаля складається з чисел, і число, що стоїть під якимись двома іншими числами, дорівнює їхній сумі. Звучить заплутано, але з самого трикутника все буде зрозуміло:

Подивися, наприклад, на число чотири. Над цим числом стоять числа 1 і 3. А сума 1+3 дає саме 4. Так само й для інших чисел.

А як використати трикутник Паскаля? Якщо подивитися на числа в окремих рядках, побачиш, що вони дуже нагадують коефіцієнти в остаточному розкладі за біномом. Наприклад, у (a + b)² маємо коефіцієнти 1,2,1, а це саме другий рядок. Для (a + b)⁴ маємо коефіцієнти 1,4,6,4,1, а це саме четвертий рядок. Якщо потрібно обчислити (a + b)ⁿ, достатньо подивитися на n-й рядок трикутника Паскаля.

Формулювання бінома Ньютона

Формально біном Ньютона звучить так:

$$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k\qquad a,b\in\mathbb{R}; n\in\mathbb{N} $$

Суму обчислюємо від нуля до n включно. Тобто кількість доданків у результаті дорівнює n + 1. Те, що стоїть у дужках, — це біноміальний коефіцієнт, який позначають також C_n^k. Це поняття з комбінаторики, і воно показує кількість різних комбінацій, з яких можна отримати даний доданок біноміального розкладу. Решта — це лише змінні з відповідними показниками степеня. Зауваж, що сума показників справді дорівнює n: n − k + k = n.

Приклади

Простий приклад: обчисли за допомогою бінома Ньютона (a + 2b)⁴. Спершу подивимося в трикутнику Паскаля на четвертий рядок. Він каже, що коефіцієнти матимуть вигляд 1,4,6,4,1. Тепер лишається послідовно дописувати показники степеня. У першому доданку буде лише a⁴:

$$(a+2b)^4=a^4+\ldots$$

У другому доданку показники розподілені парою 3,1, тобто отримуємо a³(2b)¹. Піднесення до першого степеня нічого у виразі не змінює, тож можемо записати a³2b. Коефіцієнт другого доданка — 4:

$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+\ldots$$

Третій доданок матиме показники 2,2. Тут трохи уваги: підносимо до степеня весь вираз 2b, тобто так: (2b)², а це дорівнює (2b)² = 4b². Дописуємо до розкладу з коефіцієнтом 6:

$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+\ldots$$

Четвертий доданок матиме вигляд a(2b)³. Після піднесення до степеня отримаємо a8b³. Дописуємо з коефіцієнтом 4:

$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+\ldots$$

А останній доданок — це лише (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Тепер лишається трохи впорядкувати. У доданку 4a³2b можна поставити двійку на початок доданка й помножити 2 · 4 = 8. Вийде 8a³b. Якщо так зробити й з рештою, отримаємо результат:

$$(a+2b)^4=a^4+8a^3b+24a^2b^2+32ab^3+16b^4.$$

Зверни, будь ласка, увагу, що тепер коефіцієнти вже не збігаються з числами в трикутнику Паскаля.