✖

Ймовірність

Kapitoly: Ймовірність, Протилежна подія, Умовна ймовірність, Ймовірність виграти в лотерею «6 із 49», Ймовірність виграти в Eurojackpot

Ймовірність випадкової події показує, який у нас шанс, що ця подія настане. Типовий приклад — кидання звичайного ігрового кубика. Можемо запитати: «Яка ймовірність, що випаде число п'ять?» Ймовірність записуємо або як число з відрізка [0; 1], або у відсотках, тобто від 0 % до 100 %.

Пов'язані означення

Про будь-яку повторювану дію, що залежить від випадку, кажемо, що це випадковий експеримент. Наприклад, кидання кубика чи розіграш лотереї «6 із 49» — це випадковий експеримент. Далі нам потрібна множина всіх можливих наслідків випадкового експерименту — це всі можливості, які можуть настати в цьому експерименті. Наприклад, на кубику можуть випасти числа від одного до шести, тож простір елементарних подій, який позначаємо $\Omega$ (омега), для кубика виглядав би так: $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$. Для лотереї «6 із 49» це були б усі комбінації, які можуть випасти.

Кожну підмножину $A \subseteq \Omega$ називаємо (випадковою) подією. Наприклад, подію «на кубику випало парне число» запишемо як A = {2, 4, 6}. Подію «на кубику випало число більше за п'ять» запишемо як A = {6} і так далі. Якщо кинемо кубик (= проведемо експеримент) і на ньому випаде число x, то у випадку x ∈ A кажемо, що подія настала, інакше кажемо, що подія не настала. Якщо залишимося при події «на кубику випало парне число» і випаде x = 2, то x ∈ A, тобто 2 ∈ {2, 4, 6}, і подія настала.

Існують два особливі види подій: вірогідна й неможлива. Вірогідна подія — це подія, що настає в кожному експерименті, тобто $A = \Omega$. Для кубика це була б подія «випаде число менше за 7». Воно випаде напевно. Інша крайність — неможлива подія, вона мала б вигляд $A = \varnothing$, а словами, наприклад, «на кубику випаде квітковий горщик». Звісно, під час кидання кубика зі столу може впасти квітковий горщик, але на кубику він точно не випаде, бо там лише числа від 1 до 6.

Ймовірність події

Ймовірність події показує, наскільки ми можемо очікувати, що ця подія настане. Мабуть, усі інтуїтивно відчувають, що якесь парне число на кубику випадає частіше, ніж саме число п'ять. Ймовірність перетворює це відчуття на точні числа. Спершу сформулюємо припущення, які нам знадобляться.

Нехай для випадкового експерименту виконується:

  • Усіх можливих наслідків є скінченна кількість (тобто $\Omega$ — скінченна множина).
  • Два наслідки не можуть настати одночасно (тобто на кубику не може випасти одразу 3 і 6).
  • Усі наслідки рівноймовірні (тобто шанс, що на кубику випаде 4, такий самий, як і шанс, що випаде 6 чи 1).

Перші дві умови цілком природні, остання трохи обмежує, але поки що нам її вистачить. Тоді можемо сказати, що ймовірність події A, яку позначимо P(A), дорівнює

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.$$

Інакше кажучи: кількість сприятливих наслідків, поділена на кількість усіх наслідків. (Вертикальні риски в наведеній формулі означають кількість елементів множини.) Ймовірність того, що на кубику випаде парне число, дорівнювала б:

$$ P(\text{парне}) = \frac{|{2{,}4,6}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac36=\frac12=0{,}5. $$

Ймовірність часто виражають у відсотках — досить узяти обчислену ймовірність, помножити на сто й дописати відсотки: 0{,}5 · 100 % = 50 %. П'ятдесятивідсоткова ймовірність фактично означає, що шанс випадіння парного числа такий самий, як і шанс, що воно не випаде. Це логічно, адже на кубику три парні й три непарні числа.

Вірогідна подія має ймовірність 1, неможлива — 0. Чому? Ми казали, що для вірогідної події J виконується $J = \Omega$, а для неможливої події N виконується $N = \varnothing$. Якщо підставити ці події у формулу, отримаємо:

$$ P(J) = \frac{|\Omega|}{|\Omega|} = 1;\qquad P(N)=\frac{|\varnothing|}{|\Omega|}=\frac{0}{|\Omega|}=0. $$

Розв'язані приклади

  1. Яка ймовірність, що на кубику випаде число п'ять? Це просто: множина всіх сприятливих наслідків — лише A = {5}, а простір елементарних подій, як і раніше, $\Omega = {1,2,3,4,5,6}$. Підставимо у формулу:

    $$ P(A) = \frac{|{5}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac16=16{,}666… \% $$

  2. Яка ймовірність, що на кубику випаде число, яке ділиться на три? Спершу з'ясуємо, які числа на кубику діляться на три. Це лише числа 3 і 6, тобто множина сприятливих наслідків — B = {3, 6}. Далі стандартно:

    $$ P(B) = \frac{|{3, 6}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac26=\frac13=33{,}333… \% $$

  3. Тепер спробуємо кинути два кубики одночасно. Яка ймовірність, що на обох кубиках випаде шістка? Спершу треба знайти $\Omega$, тобто множину всіх наслідків. Потрібно перелічити всі можливості. Отже, коли на першому кубику випало число 1, то на другому може випасти число від 1 до 6. Так ми знайшли шість можливостей. Коли на першому кубику випало число 2, то на другому знову можуть випасти числа від 1 до 6; так ми знайшли ще шість можливостей. І так далі для всіх чисел, що можуть випасти на першому кубику. Усі можливості виглядають так:

    $$\begin{eqnarray} &\Omega=&(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), \\ &&(2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), \\ &&\ldots\\ &&(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6) \end{eqnarray}$$

    Маємо шість рядків, у кожному по шість можливостей. Разом отримуємо 6 · 6 = 36 можливостей, які можуть випасти на кубиках. Скільки з них одночасно належать множині сприятливих наслідків? Лише одна, а саме (6; 6), бо ми хочемо, щоб випало дві шістки. Отже, ймовірність дорівнює:

    $$ P(C) = \frac{|{(6; 6)}|}{|\Omega|}=\frac{1}{36}=2{,}777… \% $$

  4. Яка ймовірність, що під час кидання двох кубиків на обох випаде однакове число? Кількість усіх можливих наслідків, як і в попередньому прикладі, дорівнює 36. А скільки сприятливих наслідків? Лише у шести випадках на обох кубиках випаде однакове число: D = {(1; 1), (2; 2), …, (6; 6)}. Підставимо у формулу:

    $$ P(D) = \frac{|D|}{|\Omega|}=\frac{6}{36}=\frac16=16{,}666… \% $$

  5. Яка ймовірність, що під час кидання двох кубиків, білого й чорного, на білому випаде 3, а на чорному 5? Кількість елементів $\Omega$ і далі дорівнює 36. Як виглядає множина сприятливих наслідків E? Вона містить лише одну можливість (3; 5), тож ймовірність дорівнює

    $$ P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}=\frac{1}{36}=2{,}777… \% $$

  6. Яка ймовірність, що під час кидання двох кубиків, білого й чорного, випадуть числа 3 і 5? Цей приклад схожий на попередній, лише ми не вимагаємо, щоб 3 випало на білому кубику, а 5 — на чорному. Просто на одному з кубиків має випасти 3, а на другому — число 5. Так отримуємо більше можливостей: крім (3; 5), маємо ще (5; 3). Ймовірність цієї події F дорівнює:

    $$ P(F) = \frac{|F|}{|\Omega|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=5{,}555… \% $$

  7. Яка ймовірність, що під час кидання двох кубиків випаде принаймні одна шістка? Діятимемо поступово: якщо шістка випала на першому кубику, то на другому можуть випасти числа від 1 до 5. Це п'ять можливостей. Якщо шістка випала на другому кубику, то на першому можуть випасти числа від 1 до 5. Це ще п'ять можливостей. І нарешті, шістка може випасти на обох кубиках — це ще одна можливість. Разом маємо 5 + 5 + 1 = 11 можливостей. Множина сприятливих наслідків G виглядає так: G = {(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)}. Отримуємо ймовірність:

    $$ P(G) = \frac{|G|}{|\Omega|}=\frac{11}{36}=30{,}555… \% $$

  8. У класі 30 учнів. Яка ймовірність, що учня Андрія викличуть на уроці історії, якщо вчителька щоразу опитує двох учнів за урок і досі ще нікого не викликали? Щоб обчислити ймовірність, потрібно знайти, скільки існує різних пар учнів і скільки існує різних пар, у яких одним із двох є Андрій. Оскільки не важливо, в якому порядку вчителька викликатиме учнів, то скористаємося комбінаціями.

    Тепер усе просто. Усього маємо 30 учнів і питаємо, скільки різних пар із них можна скласти. Це приводить нас до біноміального коефіцієнта

    $$ C_{30}^2 = {30 \choose 2} = 435 $$

    А в скількох парах є й Андрій? Якщо одним із двох є Андрій, то залишається 29 учнів, з якими Андрій може утворити пару (сам із собою пари він утворити не може, тому 30 − 1 = 29). Тепер знаємо кількість усіх можливостей і кількість сприятливих можливостей, тож підставимо у формулу:

    $$ P(H) = \frac{29}{435}=0{,}0666\ldots=6{,}666… \% $$

    Зауваження: кількість усіх пар можна обчислити й без комбінацій. Як можна утворити всі пари, якщо в класі 30 учнів? Так: щоразу беремо одного учня й по черзі додаємо до нього всіх інших. Тобто беремо, скажімо, Максима й додаємо до нього в пару всіх інших учнів, тобто утворюємо 29 пар. Так робимо з кожним учнем, тобто з усіма 30 учнями. Разом отримуємо 30 · 29 = 870 пар. Проте кожна пара там є двічі: один раз пара $(\text{Максим}; \text{Яна})$, а другий раз $(\text{Яна}; \text{Максим})$ (залежно від того, чи Максим був тим, до кого приєднували решту класу, чи тим, кого приєднували до Яни). Тому цей результат ще поділимо на два й матимемо остаточну відповідь: 870 / 2 = 435.

  9. Яка ймовірність, що з шафи для взуття, де лежить дванадцять пар черевиків, ми витягнемо рівно три черевики на ліву ногу? Це такий життєвий приклад, що відповідь на нього, мабуть, не раз була потрібна кожному. Почнемо з того, що обчислимо, скільки взагалі різних трійок можна витягнути з шафи. Нам знадобляться комбінації, бо не важливо, в якому порядку ми витягуємо черевики. Усього маємо 24 черевики й хочемо витягнути 3. Отримуємо біноміальний коефіцієнт:

    $$ C_{24}^3 = {24 \choose 3} = 2024 $$

    Так ми обчислили, що існує всього 2024 різні комбінації трьох черевиків, які можна витягнути з шафи. Тепер треба порахувати, які комбінації сприятливі, тобто які комбінації трьох черевиків містять лише черевики на ліву ногу. Ми знаємо, що у шафі всього 12 черевиків на ліву ногу. Отже, лише обчислимо, скільки комбінацій можна скласти з цих 12 черевиків. Це знову приводить до біноміального коефіцієнта:

    $$ C_{12}^3 = {12 \choose 3} = 220 $$

    Отже, існує 220 комбінацій, які містять лише черевики на ліву ногу. Це все, що нам потрібно знати, тепер лише підставимо у формулу:

    $$ P(I) = \frac{220}{2024}=0{,}108695\ldots=10{,}8695… \% $$

    Тож маємо приблизно десятивідсотковий шанс, що витягнемо три черевики й усі вони будуть на ліву ногу.