Трикутник Паскаля

Трикутник Паскаля складається з чисел, і в ньому число, що розташоване під якимись двома іншими числами, дорівнює їхній сумі. Побудуймо такий трикутник Паскаля, а потім покажемо, для чого він може знадобитися.

Як побудувати трикутник Паскаля

По боках нашого трикутника напишемо самі одиниці, а середину трикутника поки заповнимо знаками питання:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&?&&1&&&&\\ &&&&1&&?&&?&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

Тепер обчислимо перший знак питання — додамо два числа над ним і отримаємо 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&\fbox{1}&&\fbox{1}&&&&&\\ &&&&&1&&\color{red}{2}&&1&&&&\\ &&&&1&&?&&?&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

Так само обчислимо знаки питання в наступному рядку. Спершу отримаємо 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&\fbox{1}&&\fbox{2}&&1&&&&\\ &&&&1&&\color{red}{3}&&?&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

А потім отримаємо 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&\fbox{2}&&\fbox{1}&&&&\\ &&&&1&&3&&\color{red}{3}&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

Так діятимемо й далі, і з кожним наступним рядком отримуватимемо дедалі більшу частину трикутника Паскаля:

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&2&&1&&&&\\ &&&&1&&3&&3&&1&&&\\ &&&1&&4&&6&&4&&1&&\\ &&1&&5&&10&&10&&5&&1&\\ &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Трикутник Паскаля, звісно, нескінченний, ми можемо й далі створювати нові й нові рядки. Але завжди справджується, що по краях стоять одиниці, а всередині трикутника — числа, які утворилися як сума чисел над цим числом. Наприклад, число 15 в останньому рядку утворилося як сума чисел 5 і 10 над ним.

Основні властивості трикутника Паскаля

Першу основну властивість ми вже назвали: по боках трикутника завжди стоять одиниці:

$$\begin{array}{} &&&&&&&\fbox{1}&&&&&&\\ &&&&&&\fbox{1}&&\fbox{1}&&&&&\\ &&&&&\fbox{1}&&2&&\fbox{1}&&&&\\ &&&&\fbox{1}&&3&&3&&\fbox{1}&&&\\ &&&\fbox{1}&&4&&6&&4&&\fbox{1}&&\\ &&\fbox{1}&&5&&10&&10&&5&&\fbox{1}&\\ &\fbox{1}&&6&&15&&20&&15&&6&&\fbox{1}& \end{array}$$

У «другій діагоналі» завжди стоять усі натуральні числа:

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&\fbox{1}&&&&&\\ &&&&&1&&\fbox{2}&&1&&&&\\ &&&&1&&\fbox{3}&&3&&1&&&\\ &&&1&&\fbox{4}&&6&&4&&1&&\\ &&1&&\fbox{5}&&10&&10&&5&&1&\\ &1&&\fbox{6}&&15&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Чи помітив ти, до речі, що трикутник Паскаля симетричний? Кожен рядок читається однаково — і зліва направо, і справа наліво.

Трикутні числа

У третій діагоналі стоять числа 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&2&&\fbox{1}&&&&\\ &&&&1&&3&&\fbox{3}&&1&&&\\ &&&1&&4&&\fbox{6}&&4&&1&&\\ &&1&&5&&\fbox{10}&&10&&5&&1&\\ &1&&6&&\fbox{15}&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Що в них цікавого? Ці числа називають трикутними. Уяви, що ти маєш кілька кругів і хочеш скласти з них трикутник. Скільки кругів тобі знадобиться? Придивися до наступного рисунка:

Бачимо, що для трикутника зі стороною 1 потрібен рівно один круг. Для сторони завдовжки два потрібні три круги, для довжини три потрібно шість кругів, а для довжини чотири потрібно десять кругів. Кількість потрібних кругів — завжди якесь трикутне число, яке можна знайти в трикутнику Паскаля.

Сума чисел у рядках

Що буде, якщо спробувати додати числа в кожному рядку трикутника Паскаля?

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&&=1\\ &&&&&&1&&1&&&&&&=2\\ &&&&&1&&2&&1&&&&&=4\\ &&&&1&&3&&3&&1&&&&=8\\ &&&1&&4&&6&&4&&1&&&=16\\ &&1&&5&&10&&10&&5&&1&&=32\\ &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1&=64 \end{array}$$

Бачимо, що сума кожного рядка вдвічі більша за суму попереднього рядка. Отже, усі суми дорівнюють якомусь степеню числа два. Якщо найвищий рядок позначити як нульовий, можна записати, що сума n-го рядка трикутника Паскаля дорівнює 2ⁿ.

Прості числа

Позначмо найвищий рядок трикутника як нульовий. Тоді справджується: якщо вибрати якийсь n-й рядок, де n — просте число, то всі числа цього рядка ділитимуться саме на число n (окрім одиниць по краях).

Для прикладу візьмімо n = 5. Число п'ять — просте число. П'ятий рядок виглядає так:

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&2&&1&&&&\\ &&&&1&&3&&3&&1&&&\\ &&&1&&4&&6&&4&&1&&\\ &&1&&\fbox{5}&&\fbox{10}&&\fbox{10}&&\fbox{5}&&1&\\ &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Кожне з цих виділених чисел ділиться на число п'ять.

Біном Ньютона

Ти напевно знаєш формули для обчислення (a + b)² або (a + b)³:

$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray}$$

Можна помітити, що коефіцієнти при окремих доданках відповідають числам у трикутнику Паскаля. Подивімося, наприклад, на вираз

$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Спершу допишемо до виразів a³ і b³ множення на одиницю, щоб було наочніше:

$$1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3$$

Тепер бачимо, що коефіцієнти, на які множимо вирази, такі самі, як у третьому рядку трикутника Паскаля (якщо найвищий рядок вважати нульовим):

$$\fbox{1}a^3+\fbox{3}a^2b+\fbox{3}ab^2+\fbox{1}b^3$$

Цьому явищу присвячено окрему статтю про біном Ньютона.