Задача про три двері

Задача про три двері, яку також називають задачею Монті Голла, — це ймовірнісна задача, що спантеличує не одну людину.

Умова

Маємо троє дверей. Ведучий Монті Голл ставить за одні двері автомобіль, а за інші двері — козу. Твоє завдання — знайти й вибрати двері, за якими стоїть автомобіль. Спочатку тебе просять вибрати одні з трьох дверей, позначимо їх A, B і C. Ти вибираєш одні двері, скажімо, B. Далі в гру вступає ведучий: із решти дверей, тобто A, C, він відчиняє ті, за якими ховається коза, — отже, показує тобі двері, які точно не ведуть до мети. Нехай він відчинив двері A.

Родзинка всієї задачі — у наступному кроці: ведучий пропонує тобі змінити вибір. Спочатку твій вибір — двері B, потім ведучий показав, що за дверима A автомобіля немає, і пропонує змінити вибір на двері C. Але можна залишити й початковий вибір B.

Що ти вирішиш? Ймовірніше, що автомобіль за дверима B, чи за дверима C? А може, це все одно?

Розв'язання

Маємо троє дверей. Одні двері вибули з гри, тож фактично лишилося тільки двоє дверей. За одними з них точно стоїть автомобіль. Про ці двоє дверей ти більше нічого не знаєш, жодної додаткової підказки немає. Отже, ймовірність для обох дверей, звісно, дорівнює 50 %.

Приблизно так міркує значна частина людей, тож не засмучуйся, якщо тобі теж так здалося. Проте цей розв'язок, звісно, хибний :-).

Правильний розв'язок

Вигідно змінити вибір на ті двері, які ведучий не відчинив. Щоб це зрозуміти, розпишемо ймовірності від самого початку. Коли ти вперше вибираєш двері, ймовірність, що саме за ними автомобіль, дорівнює 1/3. Жодної додаткової підказки немає, тому ймовірність розподіляється рівномірно: 1/3 для кожних дверей.

Отже, якщо ти вибираєш двері B, шанс, що за ними автомобіль, дорівнює 1/3. Водночас з ймовірністю 2/3 автомобіль стоїть за дверима A або C. Тож ймовірніше, що автомобіль за дверима, яких ми не вибирали. Це важливо.

На наступному кроці в гру вступає ведучий і відчиняє одні з дверей, за якими автомобіля немає. Нехай він відчинив двері A. Отже, за дверима A автомобіля немає. Що тепер з ймовірністю 2/3? Ми знаємо, що ймовірність того, що автомобіль за дверима A або C, дорівнює 2/3, і водночас знаємо, що за дверима A його немає. Тому ймовірність 2/3 «переходить» на двері C. Шанс, що автомобіль за дверима C, дорівнює 2/3.

А от шанс для дверей B залишається тим самим, він ніяк не змінився. Отже, ми маємо шанс 1/3, що автомобіль за дверима B, які ми вибрали, і шанс 2/3, що він за дверима C, на які можна змінити вибір. Тож змінити вибір розумно.

Більше дверей

Приклад, можливо, стане зрозумілішим, якщо збільшити кількість дверей і змінити задачу так: нехай маємо десятеро дверей. На початку учасник вибирає одні двері, а ведучий відчиняє всі двері, окрім вибраних нами і тих, за якими автомобіль. Умова практично така сама, як у попередньому прикладі, тільки там, коли ведучий відчиняв усі двері, він відчиняв лише одні, бо більше відчинити не міг.

На початку ти вибираєш двері 1. Шанс, що за ними автомобіль, дорівнює 1/10. З ймовірністю 9/10 автомобіль за іншими дверима. Далі ведучий прибирає 8 дверей, за якими автомобіля точно немає, і в тебе знову лишається лише двоє дверей. Шанс, що автомобіль за дверима, які залишив тобі ведучий, дорівнює 9/10, тоді як шанс, що він за вибраними тобою дверима, як і раніше, 1/10.

Інші джерела

• Вікіпедія
• LaTrine — така сама задача зі шкаралупками, чеською