Натуральні числа

Натуральні числа — це числа, з якими ми найчастіше стикаємося в повсякденному житті. Це додатні цілі числа, тобто числа 1, 2, 3, 4, …

Позначення

Натуральні числа утворюють множину, яка містить додатні цілі числа 1, 2, 3, 4, … Цю множину зазвичай позначають літерою N з подвоєним першим штрихом: ℕ. Позначення походить від англійського «naturals».

Іноді вважають, що множина натуральних чисел містить і нуль. В Україні в школі нуль до натуральних чисел не відносять, тому ℕ — це множина без нуля. Якщо ж потрібно розрізнити обидва підходи, для множини з нулем додають нуль в індекс: ℕ₀. Інколи ще використовують позначення з плюсом, щоб підкреслити, що йдеться про натуральні числа без нуля: $\mathbb{N}^+$.

Натуральні числа використовують передусім для визначення кількості чогось («вдома три стільці», «у парку тридцять лавок», …) та для визначення порядку («перша людина на Місяці», «Канада — друга за площею країна світу», …).

Властивості

Натуральні числа мають кілька цікавих властивостей:

1. Множина натуральних чисел нескінченна, але зліченна: усі її елементи можна впорядкувати в послідовність.

• Натуральні числа замкнені відносно операцій додавання і множення. Це означає, що коли ми помножимо або додамо будь-які два натуральні числа, то знову отримаємо натуральне число.
• Вони не замкнені відносно віднімання, адже коли від меншого числа віднімаємо більше, отримуємо від'ємне число.
• Так само вони не замкнені й відносно ділення, наприклад 7/2 не є натуральним числом.

Ділення з остачею

У попередньому розділі ми з'ясували, що натуральні числа не замкнені відносно ділення. Проте можна означити операцію ділення з остачею, яку ти, напевно, добре знаєш. Якщо поділити 7/2, отримаємо 3,5. А якщо скористатися діленням з остачею, отримаємо частку 3 й остачу 1. Тобто якщо помножити 3 · 2 і додати остачу, повернемося до 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Натуральні числа без нуля відносно цієї операції теж не замкнені, але разом з нулем уже замкнені. Тобто і частка, і остача належатимуть множині ℕ₀.

Означення ділення з остачею виглядає так:

$$a=bq+r; \qquad a, q, r\in\mathbb{N}_0, b\in\mathbb{N}, r < b$$

В означенні ми ділили a:b, число r називається остачею від ділення, а q — часткою. Що означають умови? Ми працюємо з натуральними числами разом з нулем, але оскільки на нуль ділити не можна, число b вибираємо з множини без нуля.

Отже, для прикладу, для обчислення 19:5 було б a = 19 і b = 5. Розклад виглядав би так:

$$19=5\cdot3+4$$

Тобто q = 3 — це частка, а r = 4 — це остача.