Основи статистики

Статистика — наука, яка намагається досліджувати реальні дані й за допомогою теорії ймовірностей їх описувати.

Окремий розділ статистики

Це стара й неактуальна стаття, статистика вже має власний розділ із вступною статтею Основні поняття статистики.

Основні поняття

У статистиці використовують кілька основних понять, які ми тут опишемо.

Насамперед це статистична сукупність — скінченна множина якихось даних, які ми хочемо дослідити. Дані можуть бути довільні, це може бути практично що завгодно. Якщо ти хочеш дослідити середню зарплату в Україні, статистичною сукупністю буде множина всіх людей в Україні. Кількість елементів у статистичній сукупності називається обсягом сукупності. Обсяг визначеної нами сукупності дорівнював би кількості населення України.

Далі існує поняття одиниця сукупності — конкретний елемент статистичної сукупності. У нашому випадку одиницею сукупності була б одна конкретна людина.

Нарешті є ознака — те, що ми хочемо вимірювати. У нашому прикладі ознакою була б саме зарплата. Ознака може бути або якісною, або кількісною. Кількісна (тобто виражена кількістю, числом) ознака — це така ознака, яку можна виразити числами (наприклад, та сама зарплата, зріст, кількість дітей, …), а якісну ознаку можна виразити словами (колір, так/ні, професія, …).

Частоти

Частота може бути відносною або абсолютною і показує, скільки значень певної ознаки трапляється в статистичній сукупності — або абсолютно, або відносно до загальної кількості елементів сукупності.

Важливо, що під час обчислення частоти ми маємо застосувати ознаку, бо якби ми хотіли обчислити абсолютну частоту одиниці сукупності, то неодмінно дійшли б або до числа нуль, або до одиниці, адже статистична сукупність є множиною, а множина як така не допускає, щоб у ній було кілька однакових елементів.

Отже, абсолютна частота значення ознаки z показує кількість появ z у статистичній сукупності S. Приклад: нехай у класі десять учнів. Кожен учень отримав підсумкову оцінку з математики від одного до п'яти (за чеською шкалою, де 1 — найкраща оцінка, а 5 — найгірша). Оцінки записано в такій таблиці:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline 2&5&3&2&1&1&2&4&1&3 \end{array}$$

Зауваження: статистичною сукупністю для цього прикладу були б ці десять однокласників, щось на зразок

$$S=\left\{\text{Андрій}, \text{Вероніка}, \text{Максим}, \ldots\right\}$$

У таблиці для простоти в першому рядку записано числовий ідентифікатор учня, тож у першому рядку стоять одиниці сукупності, тобто елементи статистичної сукупності. У другому рядку стоять значення ознаки, тобто значення «підсумкова оцінка з математики» цього учня.

Абсолютна частота ознаки (оцінки) z = 3 дорівнювала б двом: лише двоє учнів отримали трійку (це «учні» 3 і 10). Абсолютна частота ознаки z = 1 дорівнювала б трьом («учні» 5, 6 і 9).

Відносна частота показує, скільки відсотків значень ознаки зі статистичної сукупності дорівнює значенню z. Відносну частоту ознаки z обчислимо так:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

де z_a — абсолютна частота ознаки z, а |S| — обсяг статистичної сукупності, тобто кількість елементів. Відносна частота оцінки три була б така:

$$r_3=\frac{2}{10}=\frac15.$$

Обсяг нашої сукупності дорівнює десяти, бо в класі десять учнів. Запис у відсотках отримаємо множенням на сто, тобто вийшло б 20 %. Відносна частота одиниці була б

$$r_1=\frac{3}{10}.$$

Середнє арифметичне

Середнє арифметичне, або часто просто середнє, — це середнє всіх значень у статистичній сукупності. Слово «значення» тут означає значення після застосування ознаки. Середнє обчислимо так: додамо всі значення й поділимо на кількість значень у сукупності. Тобто приблизно так:

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i$$

Я додав і запис за допомогою суми, якщо тобі він здається зрозумілішим. Але досить і попереднього виразу з дробом. Значення x — це всі значення нашої сукупності.

Приклад: візьмемо дані з попередньої таблиці й обчислимо середню оцінку на учня.

$$\overline{x}=\frac{2+5+3+2+1+1+2+4+1+3}{10}=\frac{24}{10}=2{,}4$$

У нашому класі середня оцінка 2,4. Як бачиш, середнє арифметичне може дати значення, яке насправді взагалі не є допустимим: оцінку 2,4 поставити не можна.

Середнє арифметичне також погано підходить, коли частина даних має принципово інше значення, ніж решта. Тож якщо маємо сукупність зі значеннями 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, то середнє арифметичне виходить

$$\overline{x}=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13{,}14.$$

Бачимо, що результат далеко від усіх значень сукупності. Він у кілька разів більший за перші шість чисел і в кілька разів менший за останнє значення. Це проблема, яку може розв'язати, наприклад, медіана, див. далі. Принаймні тепер ти знаєш, чому дві третини людей не досягають середньої зарплати: існує невелика група людей з надзвичайно високими зарплатами, які підвищують середнє арифметичне.

Середнє геометричне

Середнє геометричне обчислюється подібно до середнього арифметичного, тільки замість додавання використовують множення, а замість ділення — корінь. Тож середнє геометричне обчислимо так:

$$x_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot\ldots\cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}$$

Середнє геометричне можна використовувати як показник зростання. Для прикладу припустімо, що ціна якогось товару за рік зросла на 10 %, наступного року на 15 % і ще наступного на 5 %. Початкова ціна c після цих трьох років була на рівні

$$1{,}1\cdot1{,}15\cdot1{,}05c=1{,}32825c.$$

Середнє геометричне цих коефіцієнтів було б:

$$x_g=\sqrt[3]{1{,}1\cdot1{,}15\cdot1{,}05}\approx 1{,}0992419$$

Що це означає? Що якби ціна щороку множилася саме на число 1,0992419 (тобто зростала приблизно на 9,92 %), то підсумкова ціна була б такою самою:

$$1{,}0992419^3\approx 1{,}32825$$

Мода й медіана

Мода ознаки — це значення, яке має найбільшу частоту, позначається Mo(x). Якщо повернутися до прикладу з оцінками, то модою є значення 1 і 2, бо трапляються найчастіше: обидва мають абсолютну частоту 3.

Медіана — це середнє за положенням значення, позначаємо Me(x). Якщо вміємо впорядкувати значення в неспадну послідовність

$$x_1\le x_2\le x_3\le\ldots\le x_n,$$

то медіана — це значення, що стоїть посередині цієї послідовності. Серединне значення визначається по-різному залежно від того, чи має послідовність непарну, чи парну кількість елементів. Якщо непарну, медіана — це елемент на позиції

$$Me(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Якщо послідовність має парну кількість елементів, то елемента, який був би точно посередині, немає (приклад: послідовність 1, 2, 3, 4 просто не має серединного елемента). Тому беремо середнє арифметичне двох серединних значень (середнє значень 2 і 3). Отже, формула для парного n:

$$Me(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Повернімося до прикладу, що ілюстрував невдале використання середнього арифметичного. Ми мали сукупність значень s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Мода дорівнювала б двом, це єдине число, що повторюється. Щоб обчислити медіану, впорядкуємо числа в послідовність:

$$a_i=1{,}2,2{,}3,4{,}5,75.$$

Послідовність має сім елементів, серединний елемент — це a₄, і він дорівнює трьом.