Відстань між паралельними прямими

Між двома паралельними прямими на площині можна визначити відстань.

Умова

Маємо дві паралельні прямі, p: −x +3y − 16 = 0 і q: −x + 3y − 4 = 0. Як знайти відстань між ними?

Відстань між такими прямими легко звести до відстані від точки до прямої. Достатньо вибрати на одній із прямих якусь точку і обчислити відстань від цієї точки до другої прямої.

На прямій q можна вибрати точку A(8; 4). Підстановкою в рівняння прямої q переконаємося, що це справді точка цієї прямої:

\begin{eqnarray} -x + 3y - 4 &=& 0\\ -8 + 3\cdot4 - 4 &=& 0\\ -8+12-4 &=& 0\\ 0 &=& 0 \end{eqnarray}

Тепер обчислимо згадану відстань від точки A до прямої p. Для цього маємо формулу

\begin{eqnarray} d(A, p) &=& \frac{|a\cdot a_1 + b \cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{eqnarray}

Отже, просто підставимо:

\begin{eqnarray} d(A, p) &=& \frac{|a\cdot a_1 + b \cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A, p) &=& \frac{|-1\cdot 8 + 3 \cdot 4-16|}{\sqrt{(-1)^2+3^2}}\\ &=& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx 3{,}795 \end{eqnarray}

Джерела

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky