Відстань від точки до прямої

Відстань від точки до прямої дорівнює довжині «найкоротшого» відрізка, проведеного від цієї точки до заданої прямої.

Умова

Маємо пряму p і точку A, яка на цій прямій не лежить. Нас цікавить, яка відстань від точки A до прямої p. Для прикладу візьмемо пряму, задану загальним рівнянням p: −x + 2y − 12 = 0, і точку A(6; 4):

Відстань від точки до прямої дорівнює довжині відрізка AB, де пряма AB перпендикулярна до прямої p, а точка B лежить на прямій p. Пряму AB позначимо q.

Розв'язання за формулою

Якщо не хочеш нічого виводити й «складно» рахувати, можеш просто запам'ятати формулу. Для точки A(a₁; a₂) і прямої p, заданої загальним рівнянням p: ax + by + c = 0, відстань від точки A до прямої p дорівнює:

$$ d(A, p) = \frac{|a\cdot a_1 + b \cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

Застосуємо формулу до попереднього прикладу. Підставимо:

\begin{eqnarray} d(A, p) &=& \frac{|-1\cdot6+2\cdot4-12|}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}\\ &=&\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ &=&\frac{10\cdot\sqrt{5}}{5}=2\cdot\sqrt{5}\\ &\approx&4{,}4721 \end{eqnarray}

Спосіб через координати точки перетину

Інший варіант — обчислити координати точки B. Тоді довжину відрізка AB легко знайти через довжину вектора або за теоремою Піфагора. У цьому нам допоможе рівняння прямої q. Із загального рівняння прямої p одразу можна отримати вектор нормалі прямої p, він дорівнює $\vec{n}=(-1; 2)$. Оскільки прямі p і q перпендикулярні, то коли взяти якийсь вектор $\vec{m}$, перпендикулярний до вектора $\vec{n}$, цей вектор $\vec{m}$ буде вектором нормалі прямої q.

Таким перпендикулярним вектором є, наприклад, вектор $\vec{m}=(2; 1)$ (це можна перевірити, скажімо, скалярним добутком). Отже, пряма q має загальне рівняння

$$ q: 2x+y+c=0 $$

Коефіцієнт c знайдемо, підставивши замість x і y координати точки, яка точно лежить на цій прямій. У нашому випадку це точка A(6; 4). Отримуємо:

\begin{eqnarray} 2x+y+c&=&0\\ 2\cdot6+4+c&=&0\\ c&=&-16 \end{eqnarray}

Повне загальне рівняння прямої q має вигляд:

$$ q: 2x+y-16=0 $$

Тепер хочемо знайти точку перетину обох прямих. Для цього складемо з рівнянь обох прямих систему рівнянь і розв'яжемо її:

\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}

Перше рівняння помножимо на 2, друге залишимо без змін:

\begin{eqnarray} -2x+4y-24&=&0\\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}

Додамо обидва рівняння:

\begin{eqnarray} -2x+4y-24+(2x+y-16)&=&0\\ 4y+y-24-16&=&0\\ 5y&=&40\\ y&=&8 \end{eqnarray}

Координата y точки B дорівнює y = 8. Підставимо це значення в якесь із рівнянь, наприклад у −x + 2y − 12 = 0:

\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\\ -x+2\cdot8-12&=&0\\ -x+4&=&0\\ x&=&4 \end{eqnarray}

Точка B має координати B(4; 8). Тепер нам відомі координати обох точок, і знайти довжину відрізка вже легко. З відрізка AB можна утворити вектор $\overrightarrow{AB}$ і обчислити його довжину.

$$ \overrightarrow{AB} = B-A=(4; 8) - (6; 4) = (-2; 4) $$

Довжина вектора (−2; 4) дорівнює:

$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\cdot\sqrt{5}\approx4{,}4721 $$

Джерела

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky