Параметричне рівняння прямої

Параметричне рівняння прямої — це основне рівняння прямої на площині або в просторі.

Мотивація

Як можна описати пряму на площині? Ми знаємо, що для задання прямої досить двох різних точок, позначимо їх, наприклад, A і B. Іншими словами: через дві різні точки можна провести рівно одну пряму p:

Як описати цю пряму інакше, за допомогою векторів? Можемо домалювати на рисунку вектор $\vec{u}$, паралельний прямій p.

Цей вектор $\vec{u}$ має такий самий напрям, як пряма p. Це непогано, але самого напряму нам не досить. Якби ми задали пряму p лише вектором $\vec{u}$, то визначили б тільки напрям прямої, а не її конкретне положення. Ми б не змогли розрізнити ці три прямі:

Нові прямі p₁ і p₂ мають такий самий напрям, як пряма p і вектор $\vec{u}$. Щоб однозначно задати пряму p, потрібно знати ще принаймні одну точку, яка лежить на прямій p. Якщо сказати, що пряма p має напрям, заданий вектором $\vec{u}$, і проходить через точку A, то пряму p буде задано однозначно. Прямі p₁ і p₂ мають той самий напрям, але жодна з них не проходить через точку A.

Будь-яку пряму можна записати як $p(A, \vec{u})$, де A — точка, що лежить на прямій, а $\vec{u}$ — вектор, паралельний прямій. Наприклад, пряму p₁ можна записати як $p(G, \vec{u})$, а пряму p₂ як $p(E, \vec{u})$ або $p(F, \vec{u})$ — можна взяти будь-яку точку, що лежить на прямій.

Напрямний вектор прямої

Якщо маємо пряму $p(A, \vec{u})$, то вектор $\vec{u}$ називаємо напрямним вектором прямої. Найпростіше знайти напрямний вектор так: знайти дві точки A, B, що лежать на прямій p, і тоді напрямним вектором буде напрямлений відрізок $\overrightarrow{AB}$. Координати цього вектора отримуємо як різницю координат: $\vec{u}=B - A$. Приклад:

Маємо пряму p, на якій лежать дві точки A, B. Напрямний вектор дорівнює напрямленому відрізку $\overrightarrow{AB}$, тож координати вектора $\vec{u}$ знаходимо обчисленням

$$ \vec{u} = \left(u_1; u_2\right) = \left(6; 6\right) - \left(2; 4\right) = \left(4; 2\right) $$

Вектор $\vec{u}$ має таку саму довжину, як напрямлений відрізок $\overrightarrow{AB}$. Цей вектор $\vec{u}$ можна зобразити на рисунку так:

Кінець вектора $\vec{u}$ має координати (4; 2), точно як ми обчислили, і видно, що цей вектор паралельний прямій. Напрямний вектор лише показує напрям прямої, або, може, краще сказати — «нахил прямої». Напрямний вектор має бути лише паралельним прямій. Тож якби замість напрямленого відрізка $\overrightarrow{AB}$ ми взяли відрізок $\overrightarrow{BA}$, то отримали б напрямний вектор $\vec{v}=A-B$:

$$ \vec{v}=\left(v_1; v_2\right)=\left(2; 4\right)-\left(6; 6\right)=\left(-4; -2\right) $$

Зображено на рисунку:

Бачимо, що зелений вектор $\vec{v}$ протилежний синьому вектору $\vec{u}$. Водночас обидва є напрямними векторами прямої p, бо обидва паралельні прямій p.

Параметричне рівняння прямої

Маємо пряму p, точку A, що лежить на цій прямій, і напрямний вектор $\vec{u}$. Яку точку отримаємо, якщо додамо до точки A вектор $\vec{u}$? Подивимося на рисунок:

Якщо до точки, що лежить на прямій, додати напрямний вектор, отримаємо точку X, яка теж лежить на цій прямій. По суті, ми просто «зсуваємо точку A у напрямі вектора на відстань, що дорівнює довжині вектора $\vec{u}$». Точка X має координати:

$$ X=\left(x; y\right)=A+\vec{u}=\left(2; 1\right)+\left(1; 3\right)=\left(3; 4\right) $$

Що буде, якщо взяти лише половину вектора $\vec{u}$ або подвоєний вектор? Або вектор, помножений на −1? Це знову показує рисунок:

Бачимо, що коли до точки A додати напрямний вектор $\vec{u}$, помножений на будь-яке число, завжди отримуємо точку, що лежить на прямій p. Червона точка A позначає «початок», а зелені точки — результати додавання до точки A синього напрямного вектора $\vec{u}$, помноженого на різні числа.

Насправді, яку б точку X на прямій p ми не вибрали, її завжди можна записати як суму точки A і добутку напрямного вектора $\vec{u}$ на число t, де t — дійсне число. Для всіх точок X, що лежать на прямій p, можна сказати, що існує таке t∈ ℝ, що

$$ X = A + t\cdot \vec{u}. $$

Іншими словами, якби ми підставляли в це рівняння замість t по черзі всі дійсні числа, то отримали б усі точки, що утворюють пряму p, тобто всю пряму p. Це рівняння називається параметричним рівнянням прямої $p(A, \vec{u})$.

Попереднє рівняння можна замінити системою рівнянь. Якщо точка X має координати (x; y), точка A — координати (a₁; a₂), а вектор $\vec{u}$ — координати (u₁; u₂), то можемо записати

$$ \left(x; y\right)=\left(a_1; a_2\right)+t\cdot\left(u_1; u_2\right), $$

що далі можна переписати у вже згадану систему рівнянь (окремо виражаємо координату x й окремо координату y):

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2\\ \end{eqnarray}$$

Кожну пряму на площині можна задати цією системою рівнянь.

Обмеження параметра

У попередньому розділі ми сказали, що коли в параметричному рівнянні підставити замість параметра t усі дійсні числа, отримаємо пряму. Що було б, якби ми взяли не всі дійсні числа, а, скажімо, лише половину з них — тільки невід'ємні?

Отримали б промінь. Якщо повернутися до цього рисунка…

…то бачимо, що коли ми множили напрямний вектор $\vec{u}$ на додатні числа (тобто за додатного параметра t), то отримували точки X, які лежали «над» точкою A. І навпаки: якщо додавали вектор $\vec{u}$, помножений на від'ємне число (тобто за від'ємного параметра t), то отримували точку, що лежить із «протилежного боку», «під» точкою A. Якщо замість параметра t підставити всі невід'ємні числа, тобто t∈[0; +∞), отримаємо виділений червоним промінь r:

Пунктирна лінія позначає точки, які ми отримали б, якби натомість підставили замість параметра t усі від'ємні числа.

Якби ми підставили замість параметра t усі числа з одиничного відрізка [0; 1], отримали б відрізок, довжина якого дорівнює довжині напрямного вектора. Ми отримали б цей червоний відрізок:

Приклади

Маємо на площині дві точки A(−1; 3) і B(2; 5).

1. Визнач параметричне рівняння прямої p, що проходить через точки A, B. Спочатку знайдемо напрямний вектор. Візьмемо напрямлений відрізок $\overrightarrow{AB}$, і напрямний вектор $\vec{u}$ матиме координати

   $$ \vec{u}=\left(u_1; u_2\right)=B-A=\left(2; 5\right)-\left(-1; 3\right)=\left(3; 2\right) $$

   Параметричне рівняння прямої має загальний вигляд $X = A + t \cdot \vec{u}$, після підстановки отримуємо рівняння

   $$ X = \left(-1; 3\right)+t \cdot \left(3; 2\right) $$

   що можна переписати у вигляді системи так:

   $$\begin{eqnarray} x &=& -1 + 3t\\ y &=&3 + 2t \end{eqnarray}$$

   Оскільки описуємо пряму, то t∈ ℝ. Рисунок буде трохи нижче.

2. Визнач параметричне рівняння променя r, що має початок A і проходить через точку B. Використаємо те саме параметричне рівняння, лише обмежимо параметр t. Тепер питання лише в тому, чи t∈ [0; +∞), чи t∈ (−∞; 0].

   Напрямний вектор ми отримали з напрямленого відрізка $\overrightarrow{AB}$, а це означає, що початок — точка A, а кінець — точка B. Це саме те, що потрібно: наш промінь теж має початок у точці A. Отже, нам не потрібно розвертати напрям від'ємними значеннями параметра, і параметр t беремо з невід'ємного проміжку t∈ [0; +∞).

   Рисунок, що описує розв'язання цієї та попередньої задач.

   

3. Знайди середину відрізка AB. Можна діяти двома способами: додати координати точок A, B і результат поділити на два. Зробімо це:

   $$ S = \frac{\left(-1; 3\right)+\left(2; 5\right)}{2}=\frac{\left(1; 8\right)}{2}=\left(\frac12; 4\right) $$

   Ту саму точку можна отримати й через напрямний вектор. Ми отримали його з напрямленого відрізка $\overrightarrow{AB}$, а отже, якщо додати $A+\vec{u}$, отримаємо точку B. Тому якщо до A додати половину напрямного вектора, отримаємо середину відрізка $\overrightarrow{AB}$:

   $$ S = A + \frac12 \vec{u} = \left(-1; 3\right) +\frac12 \left(3; 2\right) = \left(-1; 3\right)+\left(\frac32; 1\right)=\left(\frac12; 4\right) $$

   Бачимо, що вийшла та сама точка. Для перевірки рисунок:

   

Джерела

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky