Вектори

Вектор — це величина, яка, крім числового значення, має ще й напрям. Саме цим він відрізняється від звичайного числа, тобто скаляра, який має лише числове значення.

Напрямлений відрізок

Нехай на площині дано дві різні точки A, B. Між ними можна провести відрізок. Такий відрізок зазвичай позначаємо AB, при цьому порядок точок не має значення: відрізок AB — це те саме, що відрізок BA.

Іноді це незручно, тому вводимо поняття напрямленого відрізка, у якого розрізняємо початок і кінець. Напрямлений відрізок AB має початок у точці A і кінець у точці B. На рисунку напрямлений відрізок позначаємо стрілкою, а в тексті записуємо його зі стрілкою над точками: $\overrightarrow{AB}$. Приклад:

Синім показано відрізок AB, червоним — напрямлений відрізок $\overrightarrow{CD}$. Якщо для напрямленого відрізка $\overrightarrow{AB}$ виконується A = B, його називають нульовим напрямленим відрізком. Початок і кінець у нього збігаються, тож це навіть важко назвати відрізком — насправді це лише одна точка.

Довжина напрямленого відрізка така сама, як довжина звичайного відрізка. Виконується $|\overrightarrow{AB}| = |AB|$.

Напрям напрямленого відрізка

Подивися на два напрямлені відрізки $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$:

З першого погляду видно, що ці напрямлені відрізки мають однаковий напрям. Поняття «напрям» можна було б строго визначити, але ми залишимося на інтуїтивному рівні. Простіше кажучи, напрямлені відрізки мають однаковий напрям, якщо вони паралельні й один не спрямований у протилежний бік відносно іншого. Усе це пари напрямлених відрізків, які мають однаковий напрям:

Останні, зелені, відрізки — це напрямлені відрізки $\overrightarrow{IJ}$ і $\overrightarrow{IK}$. Далі наведено приклад пар відрізків, які не мають однакового напряму:

Що таке вектор

Повернімося до рисунка з двома напрямленими відрізками однакового напряму:

Бачимо, що ці напрямлені відрізки мають не лише однаковий напрям, а й однакову довжину. Єдина різниця між ними в тому, що розташовані вони в різних місцях. Такі напрямлені відрізки, що мають однаковий напрям і однакову довжину, задають один і той самий вектор.

Отже, один вектор можна зобразити на площині (у просторі…) безліччю способів: достатньо взяти будь-який напрямлений відрізок, що має такий самий напрям і таку саму довжину, як заданий вектор. Усі наведені далі напрямлені відрізки задають один вектор:

Вектор визначається лише своєю довжиною та напрямом. Довжина й напрям вектора збігаються з довжиною й напрямом напрямленого відрізка, який цей вектор зображує. Вектори зазвичай записують зі стрілкою, так само як напрямлений відрізок. Тож можемо мати вектор $\overrightarrow{AB}$ або, коротше, вектор $\vec{u}$.

Конкретний напрямлений відрізок задає розташування вектора. На попередньому рисунку є всього 7 напрямлених відрізків, і кожен задає інше розташування вектора. Напрямлені відрізки $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{MN}$ задають той самий вектор, скажімо $\vec{v}$, але це два різні розташування вектора $\vec{v}$.

Колінеарні вектори

Нехай є два вектори $\vec{u}, \vec{v}$. Ці вектори називаємо колінеарними, якщо вони паралельні. Вектори $\vec{u}, \vec{v}$ не обов'язково мають однакову довжину. Напрям у них має бути або однаковий, або протилежний. Приклади колінеарних векторів:

Усі червоні вектори колінеарні — вони паралельні. Чи спрямований вектор у правий верхній, чи в лівий нижній кут, не має значення. Синій вектор $\overrightarrow{GH}$ колінеарним не є.

Проте якщо колінеарні вектори мають однаковий напрям, називаємо їх співнапрямленими, а якщо напрям у них різний — протилежно напрямленими. Повернімося до попереднього рисунка: вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{EF}$ співнапрямлені, а вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{KL}$ протилежно напрямлені.

Координати векторів

Ми вже знаємо, що один вектор можна задати безліччю напрямлених відрізків. Один із цих відрізків починається в початку координат: у точці (0; 0) на площині та в точці (0; 0; 0) у просторі. Подивися на наступний рисунок:

Напрямлені відрізки $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$ мають однаковий напрям і однакову довжину, тож це один вектор. При цьому відрізок $\overrightarrow{CD}$ виходить із початку координат, координати точки C дорівнюють (0; 0). Те саме стосується пари відрізків $\overrightarrow{EF}$ і $\overrightarrow{KL}$.

Якщо відомо, що відрізки $\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{EF}$ виходять із початку координат, можемо домовитися позначати такі вектори лише їхнім кінцем. Початок однаковий (це початок координат), тому щоб розрізнити відрізки $\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{EF}$, досить записати їхні кінці.

Кажемо, що вектор $\overrightarrow{AB}$, а отже й вектор $\overrightarrow{CD}$, має координати (3; 1) — це координати точки D, кінця відрізка $\overrightarrow{CD}$. Вектор $\overrightarrow{KL}$ має координати (−1; 4), тобто координати точки F.

Як обчислити координати вектора

Тепер математичний спосіб знаходження координат вектора. Виходимо з того, що відомі координати точок A, B, які задають вектор $\vec{u}$. Нехай вектор $\vec{u}$ задано точками A(2; 3) і B(5; 4). Це той червоний вектор, що розташований вище на попередньому рисунку. Як знайти координати точки D, тобто кінця напрямленого відрізка, який зображує вектор $\vec{u}$ і починається в початку координат?

Просто переносимо весь відрізок $\overrightarrow{AB}$ до початку координат. Щоб потрапити точкою A в початок координат, треба зсунути її на 2 клітинки вліво і на 3 клітинки вниз. З точкою B робимо те саме. Іншими словами, від обох точок A і B віднімаємо координати точки A. Так переносимо відрізок $\overrightarrow{AB}$ туди, де зображено відрізок $\overrightarrow{CD}$. Можемо записати:

$$\begin{eqnarray} A-A=\left(2; 3\right)-\left(2; 3\right) &=& \left(0; 0\right)\\ B-A=\left(5; 4\right)-\left(2; 3\right) &=& \left(3; 1\right) \end{eqnarray}$$

Координати вектора $\vec{u}$ — це координати (3; 1), тобто координати кінця напрямленого відрізка, початок якого лежить у початку координат.

Можемо записати: якщо вектор $\vec{u}$ задано точками A(x₁; y₁) і B(x₂; y₂), то координати вектора $\vec{u}$ знаходимо так:

$$ B-A = \left(x_2-x_1; y_2-y_1\right) $$

Координати вектора $\vec{u}$ записуємо в круглих дужках, тож координати попереднього вектора $\vec{u}$ запишемо так: $\vec{u}=\left(3; 1\right)$.

Можемо ще повернутися до рисунка й обчислити координати вектора $\overrightarrow{KL}$. Координати точок K і L — це K(−2; 1), L(−3; 5). Координати вектора тоді будуть такі:

$$ L-K=\left(-3; 5\right)-\left(-2; 1\right)=\left(-1; 4\right) $$

Бачимо, що ми правильно отримали координати точки F.

Як обчислити довжину вектора

Коли вже відомі координати вектора, його довжину легко обчислити. За теоремою Піфагора неважко вивести, що довжина (модуль) вектора з координатами $\vec{u}=(u_1; u_2)$ на площині дорівнює

$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$$

На наступному рисунку видно, що координати вектора збігаються з довжинами сторін утвореного нами трикутника і що після застосування теореми Піфагора довжину вектора справді легко знайти.

Якщо вектор $\vec{u} = (2; 4)$, його довжина дорівнює

$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$$

А тепер два приклади для практики.

1. Знайди координати вектора u, заданого точками A(3; 7), B(−1; 0). Тут розв'язання цілком просте й прямолінійне. $\vec{u} = (u_1; u_2) = B - A$.

   $$u_1 = -1 - 3 = -4, \qquad u_2 = 0 - 7 = -7$$

   Отже, вектор має координати $\vec{u} = (-4; -7)$

2. Відомо, що вектор $\vec{u}$ має координати $\vec{u}=(2; 3)$ і утворений точками A(6; 6) та B(x₁; y₁), тобто $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$. Знайди координати точки B.

   Складемо знайоме нам рівняння й виразимо з нього невідому:

   $$\begin{eqnarray} u_1&=&x_1-6\\ x_1&=&u_1+6\\ x_1&=&2+6\\ x_1&=&8 \end{eqnarray}$$

   Другу координату знаходимо так само:

   $$\begin{eqnarray} u_2 &=& y_1 - 6\\ y_1 &=& u_2 + 6\\ y_1 &=& 3 + 6\\ y_1 &=& 9 \end{eqnarray}$$

   Точка B має координати (8; 9).