Рівняння площини

Площину, так само як пряму, можна задати кількома способами. Почнемо з найпростішого — параметричного рівняння площини.

Параметричне рівняння площини

Спершу пригадаймо, як ми складали параметричне рівняння прямої p. Ми вибирали точку A, через яку проходить пряма p, а потім напрямний вектор $\vec{u}$. Якщо до точки A додати напрямний вектор, помножений на якесь число t, ми отримували якусь точку прямої p. Тож для кожної точки X, що лежить на прямій, ми мали рівняння

$$ X = A + t\cdot \vec{u},\quad t\in \mathbb{R}. $$

Схожими міркуваннями можна дійти до рівняння площини. Щоб описати площину, потрібні два різні ненульові вектори, які не є колінеарними, тобто не паралельні, і, звісно, точка A, через яку площина проходить. Вектори не повинні бути колінеарними, щоб вони не лежали на одній прямій. Одна пряма площини не визначає: одна пряма міститься в нескінченній кількості площин.

Можна міркувати й інакше: пряму ми вміємо задати двома різними точками A, B. Але через ці точки проходить нескінченно багато площин. Якщо ж додати ще одну точку C, яка не лежить на прямій AB, то площину буде визначено однозначно.

Отже, маючи три різні точки A, B, C, можемо побудувати два різні вектори $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ і $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. Ці два вектори та, наприклад, точка A визначають площину. Пригадаймо додавання векторів:

Бачимо, що сума двох векторів — це вектор, координати якого лежать «між» координатами цих двох векторів. Додаючи послідовно вектори $\vec{u}$ і $\vec{v}$, помножені на різні числа, ми можемо заповнити всю площину. Тож можна записати параметричне рівняння площини, яка визначається векторами $\vec{u}, \vec{v}$ і проходить через точку A:

$$ X = A + t\cdot \vec{u} + s\cdot \vec{v}, \quad t, s \in \mathbb{R} $$

де X — якась точка площини. Для кожної точки площини можна знайти такі t і s, щоб рівність виконувалася. Це рівняння можна ще розписати як систему рівнянь. Припустимо, що X(x; y; z), A(a₁; a₂; a₃), $\vec{u}=(u_1; u_2; u_3)$ і $\vec{v}=(v_1; v_2; v_3)$.

\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t \cdot u_1 + s \cdot v_1 \\ y &=& a_2 + t \cdot u_2 + s \cdot v_2 \\ z &=& a_3 + t \cdot u_3 + s \cdot v_3 \\ \end{eqnarray}

Приклад

З'ясуй, чи лежить у площині, яку визначають точки A(2; 3; 4), B(3; 7; −1), C(−5; 4; 4), точка Q(0; 3; 5).

Спершу складемо рівняння площини. Визначимо вектори $\vec{u}$ і $\vec{v}$, де $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ і $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. Отримуємо:

\begin{eqnarray} \vec{u}&=&B-A=(3; 7; -1)-(2; 3; 4)=(1; 4; -5)\\ \vec{v}&=&C-A=(-5; 4; 4)-(2; 3; 4)=(-7; 1; 0) \end{eqnarray}

Площина проходить через точку A, тож запишемо систему рівнянь:

\begin{eqnarray} x &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ y &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ z &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ \end{eqnarray}

Тепер з'ясуємо, чи проходить ця площина через точку Q(0; 3; 5). Для цього підставимо замість x,y,z числа 0,3,5 і розв'яжемо систему рівнянь. Отримуємо систему:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ \end{eqnarray}

З останнього рівняння виразимо t:

\begin{eqnarray} 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ 5 &=& 4 - t \cdot 5\\ 1 &=& - t \cdot 5\\ t \cdot 5 &=& -1\\ t &=& -\frac{1}{5} \end{eqnarray}

Підставимо t у друге рівняння:

\begin{eqnarray} 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 3 &=& 3 - \frac{1}{5} \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 0 &=& -\frac{4}{5} + s \cdot 1 \\ s &=& \frac{4}{5} \end{eqnarray}

І нарешті підставимо значення t і s у перше рівняння, щоб перевірити, чи воно виконується:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ 0 &=& 2 - \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{4}{5} \cdot 7 \\ 0 &=& \frac{10}{5} - \frac{1}{5} - \frac{28}{5}\\ 0 &=& -\frac{19}{5} \end{eqnarray}

Рівність не виконується, отже, система не має розв'язків, і точка Q(0; 3; 5) не належить площині.