Відстань від точки до площини

Відстань від точки до площини дорівнює довжині «найкоротшого» відрізка, проведеного від цієї точки до заданої площини.

Умова

Маємо площину, задану загальним рівнянням r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0, і точку X(5; 7; 2). Потрібно знайти відстань від точки X до площини r. На рисунку це виглядало б так:

На рисунку маємо якусь площину ABCD і точку X. Довжина відрізка XF визначає відстань від точки X до площини. Цей відрізок знову перпендикулярний до площини, тому це найкоротша відстань від точки до площини. (Рисунок не показує площину r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 і точку X(5; 7; 2), а лише загалом відстань від точки до площини.)

Розв'язання за формулою

Можна скористатися практично тією самою формулою, що й для відстані від точки до прямої, лише додати ще один вимір. Отже, відстань від точки X(x₁; x₂; x₃) до площини r: ax + by + cz + d = 0 обчислюємо як

$$ d(X, r) = \frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$

Для площини r і точки X(5; 7; 2) з умови підставимо a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 та x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

\begin{eqnarray} d(X, r) &=& \frac{|3\cdot5+1\cdot7-2\cdot2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}}\\ &=& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx5{,}880 \end{eqnarray}

Джерела

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky