Взаємне розміщення прямих

Для двох прямих на площині можна розрізняти загалом чотири різні випадки. Прямі можуть бути паралельними, такими, що перетинаються, перпендикулярними або такими, що збігаються.

Визначення взаємного розміщення за рівняннями

Якщо маємо дві прямі та їхні два рівняння, просто розв'язуємо систему цих двох рівнянь. Можливі три випадки:

Система не має розв'язків — прямі не мають спільних точок, тому вони паралельні.
Система має рівно один розв'язок — прямі мають рівно одну спільну точку (точку перетину), тому вони перетинаються.
Система має нескінченно багато розв'язків — прямі мають нескінченно багато спільних точок, тому вони збігаються.

Зверни увагу, що таким способом ми не дізнаємося, чи перпендикулярні прямі.

Три різні випадки взаємного розміщення прямих

На рисунку бачимо паралельні прямі a, b, прямі c, d, що перетинаються в одній точці, та прямі e, f, що збігаються.

Ось приклади:

Досліди взаємне розміщення прямих p і q, заданих рівняннями p: −x + 3y − 5 = 0 і q: 2x + 3y − 17 = 0. З обох рівнянь складемо систему лінійних рівнянь і розв'яжемо її:

\begin{eqnarray} -x+3y-5&=&0\\ 2x+3y-17&=&0 \end{eqnarray}

Перше рівняння помножимо на два:

\begin{eqnarray} -2x+6y-10&=&0\\ 2x+3y-17&=&0 \end{eqnarray}

І додамо рівняння:

$$ -2x+6y-10+(2x+3y-17) = 0 $$

Подальші перетворення прості:

\begin{eqnarray} -2x+6y-10+(2x+3y-17) &=& 0\\ 6y+3y-10-17 &=& 0\\ 9y -27 &=& 0\\ y - 3 &=& 0\\ y=3 \end{eqnarray}

Ще знайдемо x, наприклад, підставивши значення y = 3 у рівняння −x + 3y − 5 = 0:

\begin{eqnarray} -x+3y-5&=&0\\ -x+3\cdot3-5&=&0\\ -x+4&=&0\\ x&=&4 \end{eqnarray}

Ми отримали єдиний розв'язок системи рівнянь, x = 4, y = 3. Це означає, що прямі перетинаються в точці X(4; 3). Рисунок:
Досліди взаємне розміщення прямих p і q, де p: 2x + y − 8 = 0, а q задано параметричним рівнянням прямої:

\begin{eqnarray} x &=&\color{red}{5 - t}\\ y &=&\color{blue}{2 + 2t} \end{eqnarray}

У цьому випадку маємо одне загальне рівняння прямої і одне параметричне. Розв'язуємо так: у загальне рівняння підставляємо замість x і y вирази з параметричного рівняння. Тобто замість x у загальному рівнянні підставляємо праву частину параметричного рівняння, те саме для y. Отримуємо одне рівняння:

\begin{eqnarray} 2\color{red}{x} + \color{blue}{y} - 8 &=& 0\\ 2\cdot(\color{red}{5-t})+(\color{blue}{2+2t})-8 &=& 0 \end{eqnarray}

Далі перетворюємо рівняння вже звичайним способом:

\begin{eqnarray} 2\cdot(5-t)+(2+2t)-8 &=& 0\\ 10-2t+2+2t-8&=&0\\ 12-8+2t-2t&=&0\\ 4&=&0 \end{eqnarray}

Рівняння не має розв'язків, тож прямі не перетинаються в жодній точці. Отже, прямі p і q паралельні. Рисунок:
Досліди взаємне розміщення прямих p і q, заданих рівняннями p: 3x + y − 10 = 0 і q: −9x −3y + 30 = 0. З першого погляду видно, що друге рівняння дістаємо з першого множенням на −3, тож прямі, імовірно, збігаються. Але порахуймо. Складемо систему рівнянь:

\begin{eqnarray} 3x + y - 10 &=& 0\\ -9x -3y + 30 &=& 0 \end{eqnarray}

Перше рівняння помножимо на 3:

\begin{eqnarray} 9x + 3y - 30 &=& 0\\ -9x -3y + 30 &=& 0 \end{eqnarray}

І додамо рівняння:

\begin{eqnarray} 9x + 3y - 30 + (-9x -3y + 30) &=& 0\\ 9x - 9x +3y - 3y +30 -30 &=& 0\\ 0&=&0 \end{eqnarray}

Система має нескінченно багато розв'язків, прямі мають нескінченно багато спільних точок, а отже, збігаються. Рисунок:

Визначення взаємного розміщення за напрямним вектором і вектором нормалі

Якщо відомий напрямний вектор або вектор нормалі, то можна визначити взаємне розміщення прямих. При цьому:

Якщо напрямні вектори колінеарні (лінійно залежні), то прямі паралельні або збігаються.
Якщо напрямні вектори не колінеарні (не є лінійно залежними), то прямі перетинаються.
Якщо скалярний добуток напрямних векторів дорівнює нулю, то прямі перпендикулярні.

Попередні пункти так само справджуються для векторів нормалі. Тобто якщо вектори нормалі колінеарні, то прямі паралельні або збігаються тощо.

Спробуймо розв'язати три попередні приклади з минулого розділу за допомогою напрямних векторів і векторів нормалі.

Досліди взаємне розміщення прямих p і q, заданих рівняннями p: −x + 3y − 5 = 0 і q: 2x + 3y − 17 = 0. Вектор нормалі прямої p має вигляд $\vec{u}=(-1; 3)$, вектор нормалі прямої q має вигляд $\vec{v}=(2; 3)$. Вектори не колінеарні, бо вектори $\vec{u}, \vec{v}$ не є лінійно залежними. Не існує такого a ∈ ℝ, що $a\cdot\vec{u}=\vec{v}$. Звідси випливає, що прямі перетинаються.

Ще обчислимо скалярний добуток, щоб перевірити, чи перпендикулярні прямі. Скалярний добуток векторів нормалі дорівнює

$$ \vec{u}\cdot \vec{v} = (u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2) = -2+9=7 $$

Скалярний добуток ненульовий, тож прямі не перпендикулярні.
Досліди взаємне розміщення прямих p і q, де p: 2x + y − 8 = 0, а q задано параметричним рівнянням прямої:

\begin{eqnarray} x &=&5 - t\\ y &=&2 + 2t \end{eqnarray}

З параметричного рівняння одразу можна прочитати напрямний вектор прямої q. Він збігається з коефіцієнтами при параметрі t, тож напрямний вектор прямої q має вигляд $\vec{v}=(-1; 2)$. Із загального рівняння прямої p можна одразу прочитати вектор нормалі, який має вигляд $\vec{n}=(2; 1)$ (значення коефіцієнтів при x і y). З вектора нормалі отримаємо напрямний вектор $\vec{u}=(1; -2)$.

(Ми лише поміняли числа місцями й одну з координат помножили на −1. Скалярний добуток векторів (2; 1) і (1; −2) дорівнює нулю, тому якщо (2; 1) — вектор нормалі, то (1; −2) — напрямний вектор.)

Бачимо, що напрямний вектор прямої p — це напрямний вектор прямої q, помножений на число −1, тобто $-1\cdot \vec{v} = \vec{u}$. Отже, напрямні вектори цих прямих колінеарні, а це означає, що прямі p і q паралельні або збігаються.

Тепер треба з'ясувати, паралельні прямі чи збігаються. Достатньо взяти будь-яку точку A, що лежить на прямій q, і підставити її в рівняння, яке описує пряму p. Якщо рівність виконується, прямі збігаються. В іншому разі вони лише паралельні.

Візьмемо параметричне рівняння прямої q і підставимо замість параметра t нуль. Отримаємо:

\begin{eqnarray} x &=&5 - 0=5\\ y &=&2 + 2\cdot0=2 \end{eqnarray}

Ми отримали точку A(5; 2), яка точно лежить на прямій q. Ці координати підставимо в загальне рівняння p: 2x + y − 8 = 0:

\begin{eqnarray} 2x + y - 8 &=& 0\\ 2\cdot5+2-8 &=& 0\\ 12-8&=&0\\ 4&=&0 \end{eqnarray}

Ця точка не є розв'язком рівняння, тож точка A(5; 2) не лежить на прямій p, а отже, прямі не збігаються.
Досліди взаємне розміщення прямих p і q, заданих рівняннями p: −x + 3y − 6 = 0 і q: 3x + y − 14 = 0. Цей приклад відрізняється від третього прикладу попереднього розділу. З обох рівнянь можемо прочитати вектори нормалі обох прямих. Вони мають вигляд $\vec{n}_p = (-1; 3)$ і $\vec{n}_q=(3; 1)$. Вектори нормалі не є лінійно залежними (не колінеарні), не існує такого дійсного a, що $a\cdot \vec{n}_p = \vec{n}_q$.

Тепер ще з'ясуємо, чи перпендикулярні прямі. Обчислимо скалярний добуток:

$$ \vec{n}_p\cdot \vec{n}_q = (-1; 3)\cdot(3; 1)=-3+3=0 $$

Скалярний добуток вийшов нульовий, вектори перпендикулярні. Тому й самі прямі перпендикулярні. Рисунок:

Якщо ми хочемо знайти точку перетину обох прямих, її треба обчислити з рівнянь. Складемо із загальних рівнянь систему рівнянь:

\begin{eqnarray} -x + 3y - 6 &=& 0\\ 3x + y - 14 &=& 0 \end{eqnarray}

Перше рівняння помножимо на −3:

\begin{eqnarray} -3x + 9y - 18 &=& 0\\ 3x + y - 14 &=& 0 \end{eqnarray}

Тепер додамо рівняння й перетворимо далі:

\begin{eqnarray} -3x + 9y - 18 + (3x + y - 14) &=& 0\\ 9y+y-18-14 &=&0\\ 10y-32 &=& 0\\ y = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \end{eqnarray}

Координату x обчислимо підстановкою в якесь рівняння, наприклад, у −x + 3y − 6 = 0:

\begin{eqnarray} -x + 3y - 6 &=& 0\\ -x + 3\cdot \frac{16}{5} - 6 &=& 0\\ -x + \frac{48}{5}-\frac{30}{5} &=&0\\ -x + \frac{18}{5} &=& 0\\ x &=& \frac{18}{5} \end{eqnarray}

Отримуємо координати точки перетину обох прямих $P(\frac{18}{5}; \frac{16}{5})$.

Джерела

J. Polák: Přehled středoškolské matematiky

« Попередня: Рівняння прямої в просторі

Наступна: Рівняння площини »