Combien existe-t-il de codes PIN différents ?
Imagine que tu as un cadenas à code à molettes, sur lequel tu peux régler un code à quatre chiffres. Ou alors tu veux régler un code semblable sur ta carte bancaire. Combien de possibilités existe-t-il ? Calculons-le ensemble.
Nombre de codes à quatre chiffres
Combien de combinaisons existerait-il si le code ne comportait qu’un seul chiffre, de zéro à neuf ? Il y en aurait au total dix : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Combien de possibilités obtiendrait-on en ajoutant un chiffre, c.-à-d. avec un code à deux chiffres ? Imaginons que sur la première molette on règle le chiffre zéro, et que sur la seconde on essaie successivement tous les chiffres de zéro à neuf :
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09
On obtient dix combinaisons. Changeons maintenant le chiffre de la première molette de zéro à un, et faisons de même :
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Nous avons dix combinaisons de plus. On continue ainsi jusqu’à essayer tous les chiffres sur la première molette, et on finit au neuf :
90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99
Au total, on obtient donc dix séries de dix combinaisons chacune. Si l’on compte toutes les combinaisons de toutes les séries, on obtient pour un cadenas à deux chiffres 10 · 10 combinaisons, soit cent.
On continue de la même façon. On ajoute une troisième molette, ce qui multiplie à nouveau le nombre de combinaisons par dix. Un code à trois chiffres comporte donc 10 · 10 · 10, c.-à-d. mille combinaisons. Enfin, un code à quatre chiffres comporte
combinaisons. Tout au long de ce calcul, nous n’avons fait qu’appliquer le principe multiplicatif. Si donc le cadenas a quatre chiffres, dont chaque molette porte dix chiffres différents, on peut calculer le nombre de combinaisons à l’aide des puissances :
Si nous avions 3 molettes, et que l’on pouvait choisir sur chacune une lettre de l’alphabet anglais, c.-à-d. de A à Z, soit 26 lettres, on obtiendrait au total
possibilités.
Comment essayer toutes les combinaisons d’un code PIN ?
Si un jour tu dois essayer toutes les combinaisons d’un cadenas à code ou d’un code PIN, procède surtout de manière systématique. Pour un cadenas à quatre chiffres, avec les chiffres de 0 à 9, commence par 0000 puis augmente progressivement le dernier chiffre :
0000, 0001, 0002, …, 0009
Fais ensuite tourner la deuxième molette en partant de la droite, puis réessaie toutes les variantes en faisant tourner le dernier chiffre :
0010, 0011, 0012, …, 0019
Fais de nouveau tourner la deuxième molette et essaie à nouveau toutes les combinaisons :
0020, 0021, 0022, …, 0029
Une fois arrivé à 0099, tourne la troisième molette en partant de la droite et continue :
0100, 0101, 0102, …, 0199
La dernière combinaison à essayer est 9999. Tu peux alors être certain d’avoir tout essayé.
Chapitres: Dénombrement, Arrangements, Permutations, Combinaisons, K-uplets avec répétition, Combinaisons avec répétition, Combien existe-t-il de codes PIN différents ?
