Bases de la statistique

La statistique est une science qui cherche à étudier des données réelles et, à l’aide de la théorie des probabilités, tente de les décrire.

Section dédiée

Cet article est ancien et n’est plus à jour : la statistique dispose désormais de sa propre section, avec l’article d’introduction Notions de base de la statistique.

Notions de base

En statistique, on travaille avec plusieurs notions de base, que nous décrivons ici.

Tout d’abord, il y a la population statistique, c’est-à-dire l’ensemble fini de données que l’on veut étudier. Les données peuvent être quelconques, pratiquement tout peut en faire partie. Si tu veux étudier le salaire moyen en France, la population statistique sera l’ensemble de toutes les personnes vivant en France. Le nombre d’éléments d’une population s’appelle son effectif total ; dans ce cas, l’effectif total serait égal au nombre d’habitants de la France.

Ensuite, il y a l’individu (unité statistique), c’est-à-dire un élément concret de la population. Dans notre exemple, un individu serait une personne donnée.

Enfin, il y a le caractère statistique, c’est-à-dire ce que l’on veut mesurer. Dans notre exemple, le caractère serait justement le salaire. Un caractère peut être qualitatif ou quantitatif. Un caractère quantitatif (quantité, nombre) est exprimable par des nombres (par exemple le salaire, la taille, le nombre d’enfants…), tandis qu’un caractère qualitatif s’exprime par des mots (couleur, oui/non, profession…).

Effectifs et fréquences

L’effectif (absolu) ou la fréquence (relative) indique combien de fois une valeur du caractère apparaît dans la population, soit en nombre, soit par rapport au nombre total d’éléments.

Il est important d’appliquer le caractère statistique lorsqu’on calcule un effectif : si l’on voulait calculer l’effectif absolu d’une unité statistique, on obtiendrait forcément zéro ou un, car une population est un ensemble, et un ensemble ne peut pas contenir plusieurs éléments identiques.

L’effectif absolu d’une valeur z du caractère indique donc le nombre d’apparitions de z dans la population S. Exemple : considérons une classe de dix élèves. Chaque élève a reçu sur son bulletin une note de mathématiques sur 20. Le tableau suivant présente ces notes :

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 15& 6& 12& 15& 18& 18& 15& 9& 18& 12\end{array}$$

Remarque : la population statistique de cet exemple serait ces dix camarades de classe, par exemple

$$S=\{\text{Léo},\text{Emma},\text{Lucas},\dots \}$$

Pour simplifier, la première ligne du tableau contient un identifiant numérique de l’élève : ces identifiants sont donc les unités statistiques, c’est-à-dire les éléments de la population. La deuxième ligne contient les valeurs du caractère, c’est-à-dire la note de mathématiques de chaque élève.

L’effectif absolu de la valeur du caractère (note sur le bulletin) z = 12 est donc égal à deux : seuls deux élèves ont reçu 12 sur 20 (les élèves 3 et 10). L’effectif absolu de la valeur z = 18 est égal à trois (les élèves 5, 6 et 9).

La fréquence indique quel pourcentage des valeurs du caractère dans la population est égal à la valeur z. La fréquence d’un caractère z se calcule ainsi :

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

où z_a est l’effectif absolu de z et |S| est l’effectif total de la population, c’est-à-dire le nombre d’éléments. La fréquence de la note 12 est donc :

$$r_{12}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

L’effectif total de notre population est dix, car notre classe compte dix élèves. On obtient le pourcentage en multipliant par cent, soit 20 %. La fréquence de la note 18 serait

$$r_{18}=\frac{3}{10}.$$

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique, souvent appelée simplement moyenne, est la moyenne de toutes les valeurs de la population. Par « valeur », on entend ici la valeur du caractère après application du caractère statistique. On la calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par leur nombre. En résumé :

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

J’ai aussi ajouté une écriture avec le symbole somme, au cas où elle te paraîtrait plus lisible. Mais l’expression précédente avec la fraction suffit. Les x représentent toutes les valeurs de notre population.

Exemple : prenons les données du tableau précédent et calculons la note moyenne par élève.

$$p_a=\frac{15+6+12+15+18+18+15+9+18+12}{10}=\frac{138}{10}=13,8$$

Dans notre classe, la note moyenne est donc 13,8 sur 20. Comme tu le vois, la moyenne peut donner une valeur qu’aucun élève n’a en réalité : personne dans la classe n’a eu 13,8.

La moyenne arithmétique est aussi mal adaptée lorsqu’une partie des données a une valeur très différente du reste. Par exemple, pour la série de valeurs 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, la moyenne vaut

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

On voit que la valeur obtenue est très éloignée de toutes les valeurs de la série. Elle est plusieurs fois supérieure aux six premiers nombres et plusieurs fois inférieure à la dernière valeur. C’est un problème que peut résoudre, par exemple, la médiane, voir plus bas. Tu sais au moins désormais pourquoi deux tiers des personnes n’atteignent pas le salaire moyen : il existe un petit groupe de personnes aux salaires très élevés, qui tirent la moyenne vers le haut.

Moyenne géométrique

La moyenne géométrique se calcule comme la moyenne arithmétique, mais on utilise la multiplication au lieu de l’addition et la racine au lieu de la division. Ainsi :

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

La moyenne géométrique peut servir d’indicateur de croissance. Supposons par exemple que le prix d’un produit augmente de 10 % la première année, de 15 % la deuxième et de 5 % la troisième. Le prix initial c vaut alors, au bout de ces trois années :

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

La moyenne géométrique de ces coefficients est :

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Qu’est-ce que cela signifie ? Si le prix était multiplié chaque année par le nombre 1,0992419 (c’est-à-dire augmenté d’environ 9,92 %), le prix final serait le même :

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Mode et médiane

Le mode d’un caractère est la valeur qui a le plus grand effectif ; on le note Mo. Dans l’exemple des notes, les modes sont les valeurs 15 et 18, car elles apparaissent le plus souvent : elles ont chacune un effectif absolu de 3.

La médiane est la valeur du milieu, notée Me. Si l’on peut ranger les valeurs dans une suite croissante

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

la médiane est la valeur située au milieu de cette suite. Le calcul diffère selon que le nombre d’éléments est impair ou pair. S’il est impair, la médiane est l’élément de rang

$$\text{Me}=x_{\frac{n+1}{2}}$$

S’il est pair, il n’y a pas d’élément exactement au milieu (par exemple la suite 1, 2, 3, 4 n’a pas d’élément central). On prend donc la moyenne des deux valeurs centrales (la moyenne de 2 et 3). Pour n pair, la formule est :

$$\text{Me}=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Reprenons l’exemple qui illustrait une moyenne arithmétique mal adaptée. Nous avions une série de valeurs s = 1 ; 3 ; 2 ; 5 ; 4 ; 2 ; 75. Le mode vaut deux, c’est le seul nombre qui se répète. Pour calculer la médiane, on range les nombres dans une suite :

$$a_i=1;2;2;3;4;5;75.$$

La suite comporte sept éléments, l’élément du milieu est donc a₄, qui vaut trois.