Formule du binôme de Newton

La formule du binôme de Newton généralise les identités du type (a + b)² à l’aide de techniques de dénombrement.

Motivation

Tu connais sûrement les formules de (a + b)² et de (a + b)³ :

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

La question naturelle est alors la suivante : peut-on généraliser ces formules à un entier naturel non nul n quelconque, c’est-à-dire calculer (a + b)ⁿ ?

Établissement de la formule

C’est bien sûr possible, et c’est justement le rôle de la formule du binôme de Newton. Regardons comment ce développement se poursuit pour n = 4 et n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Tu devrais déjà voir une régularité. Si l’on a l’expression (a + b)ⁿ, le membre de droite commence toujours par aⁿ. Le deuxième terme contient aussi la variable a, mais avec un exposant inférieur d’une unité. Par exemple, dans le développement de (a + b)⁴, le premier terme est a⁴ et le deuxième est a³. Chaque terme suivant contient a avec un exposant inférieur d’une unité à celui du terme précédent. La variable b, en revanche, augmente. Au début, on n’a pas de b, ou plutôt on en a un, mais à l’exposant zéro : b⁰ = 1. Dans le deuxième terme, b a alors l’exposant un, puis deux, etc.

Dans tout cela, une règle simple s’applique : la somme des exposants doit toujours être égale à n. Si l’on considère le dernier développement, (a + b)⁵, le troisième terme est par exemple 10a³ · b², et la somme des exposants de a et de b vaut bien 5.

Il reste une dernière chose : les coefficients, c’est-à-dire les nombres placés devant chaque terme. Tu remarqueras sûrement qu’ils sont symétriques : pour (a + b)⁴, on a les coefficients 1, 4, 6, 4, 1, et pour (a + b)⁵ : 1, 5, 10, 10, 5, 1. Je rappelle que a⁴ = 1 · a⁴, c’est pourquoi j’écris ce 1 dans la liste des coefficients, même s’il n’apparaît pas explicitement dans les formules. Nous allons voir une autre relation avec le triangle de Pascal.

Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est un outil pratique pour calculer un développement par la formule du binôme. Il est formé de nombres, et tout nombre situé sous deux autres est égal à leur somme. Cela semble compliqué, mais le triangle lui-même rendra la chose claire :

Regarde par exemple le nombre quatre. Au-dessus de lui se trouvent 1 et 3, et 1 + 3 donne bien 4. Il en va de même pour les autres nombres.

Et comment utiliser le triangle de Pascal ? Si tu regardes les nombres de chaque ligne, tu verras qu’ils ressemblent beaucoup aux coefficients du développement binomial. Par exemple, pour (a + b)², les coefficients sont 1, 2, 1, ce qui correspond exactement à la ligne de l’exposant deux. Pour (a + b)⁴, on a les coefficients 1, 4, 6, 4, 1, qui correspondent exactement à la ligne de l’exposant quatre. Si l’on veut calculer (a + b)ⁿ, il suffit donc de regarder la ligne correspondant à l’exposant n dans le triangle de Pascal.

Définition de la formule du binôme

Formellement, la formule du binôme de Newton s’écrit :

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

La somme est prise de zéro à n inclus. Le nombre de termes est donc n + 1. Ce qui figure entre parenthèses est le coefficient binomial, qui représente le nombre de combinaisons par lesquelles on peut obtenir le terme correspondant du développement, c’est-à-dire « k parmi n ». Le reste ne consiste qu’en variables affectées des exposants appropriés. Remarque que la somme des exposants vaut bien n : n − k + k = n.

Exemples

Exemple simple : calcule (a + 2b)⁴ à l’aide de la formule du binôme. D’abord, regarde la ligne du triangle de Pascal correspondant à l’exposant 4. Elle donne les coefficients 1, 4, 6, 4, 1. Il ne reste plus qu’à compléter les exposants, un par un. Le premier terme sera simplement a⁴ :

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

Dans le deuxième terme, les exposants sont répartis en le couple 3, 1 : on obtient donc a³(2b)¹. Élever à la puissance 1 ne change rien à l’expression, on peut donc écrire a³2b. Le coefficient du deuxième terme est 4 :

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Le troisième terme a les exposants 2, 2. Attention, ici on élève tout le 2b au carré : (2b)², ce qui vaut (2b)² = 4b². On l’ajoute au développement avec le coefficient 6 :

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Le quatrième terme a la forme a(2b)³. Après élévation à la puissance, on obtient a8b³. On l’ajoute avec le coefficient 4 :

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Le dernier terme est simplement (2b)⁴ = 16b⁴ :

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Il ne reste plus qu’à simplifier un peu. Dans le terme 4a³2b, on peut mettre le 2 en tête du terme et multiplier 2 · 4 = 8. On obtient ainsi 8a³b. Si l’on fait de même pour le reste, on obtient le résultat :

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Remarque bien qu’à ce stade, les coefficients ne correspondent plus à ceux du triangle de Pascal.