Probabilité

La probabilité d’un événement aléatoire indique quelle chance il a de se réaliser. Un exemple typique est le lancer d’un dé classique. On peut se demander : « quelle est la probabilité d’obtenir un cinq ? » La probabilité s’exprime soit par un nombre de l’intervalle [0 ; 1], soit en pourcentage, c.-à-d. de 0 % à 100 %.

Définitions associées

Toute activité répétée qui dépend du hasard est appelée expérience aléatoire. Par exemple, le lancer d’un dé ou le tirage du loto « 6 sur 49 » sont des expériences aléatoires. Il faut ensuite l’univers, c.-à-d. l’ensemble de tous les résultats possibles de l’expérience : ce sont toutes les issues qui peuvent se produire. Par exemple, un dé peut donner les nombres de 1 à 6 ; l’univers, noté Ω (oméga), s’écrit donc pour le dé ainsi : Ω= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Pour le loto « 6 sur 49 », ce seraient toutes les combinaisons qui peuvent sortir.

Tout sous-ensemble A ⊂ Ω est appelé événement aléatoire. Par exemple, l’événement « on obtient un nombre pair » s’écrit A = {2 ; 4 ; 6}. L’événement « on obtient un nombre supérieur à cinq » s’écrit A = {6}, et ainsi de suite. Si l’on lance le dé (c.-à-d. on réalise l’expérience) et que le nombre x sort, alors si x ∈ A, on dit que l’événement s’est réalisé ; sinon, on dit qu’il ne s’est pas réalisé. Si l’on reprend l’événement « on obtient un nombre pair » et que l’on obtient x = 2, alors x ∈ A, donc 2 ∈ {2 ; 4 ; 6} et l’événement s’est réalisé.

Il existe deux types particuliers d’événements : l’événement certain et l’événement impossible. L’événement certain se réalise à chaque expérience, ce qui signifie A = Ω. Pour le dé, ce serait l’événement « on obtient un nombre inférieur à 7 » : cela arrivera forcément. Le contraire est l’événement impossible, qui s’écrit A = ∅, par exemple « le dé donne un pot de fleurs ». Certes, un pot de fleurs peut tomber de la table pendant le lancer du dé, mais il ne peut pas sortir sur le dé, car celui-ci ne porte que les nombres de 1 à 6.

Probabilité d’un événement

La probabilité d’un événement indique à quel point on peut s’attendre à ce qu’il se réalise. Nous sommes presque tous persuadés qu’un nombre pair sortira plus souvent qu’un cinq. La probabilité traduit cette intuition en nombres exacts. Commençons par les hypothèses dont nous aurons besoin.

Supposons que, pour une expérience aléatoire, les conditions suivantes soient remplies :

• Le nombre de résultats possibles est fini (c.-à-d. Ω est un ensemble fini).
• Deux résultats ne peuvent pas sortir en même temps (c.-à-d. on ne peut pas obtenir à la fois un 3 et un 6 sur le dé).
• Chaque résultat est aussi probable que les autres (c.-à-d. on a autant de chances d’obtenir un 4 sur le dé qu’un 6 ou un 1).

Les deux premières conditions sont assez naturelles ; la dernière est légèrement restrictive, mais nous nous en contenterons pour l’instant. On peut alors dire que la probabilité de l’événement A, notée P(A), est égale à

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$$

Autrement dit : nombre de résultats favorables divisé par nombre de résultats possibles. (Les barres verticales de la formule précédente désignent le nombre d’éléments de l’ensemble.) La probabilité d’obtenir un nombre pair sur le dé serait donc égale à :

$$P(\text{pair})=\frac{|\{2;4;6\}|}{|\{1;2;3;4;5;6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

On exprime souvent la probabilité en pourcentage : il suffit de multiplier la probabilité calculée par cent et d’ajouter le signe %. Ainsi 0,5 · 100 % = 50 %. Une probabilité de 50 % signifie en fait que l’on a autant de chances d’obtenir un nombre pair que de ne pas en obtenir. Cela a du sens, puisque le dé porte trois nombres pairs et trois nombres impairs.

L’événement certain a la probabilité 1, l’événement impossible la probabilité 0. Pourquoi ? Nous avons dit que pour l’événement certain J on a J = Ω, et pour l’événement impossible N on a N = ∅. Si l’on remplace ces événements dans la formule, on obtient :

$$P(J)=\frac{|\mathrm{\Omega }|}{|\mathrm{\Omega }|}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{0}{|\mathrm{\Omega }|}=0.$$

Exercices corrigés

1. Quelle est la probabilité d’obtenir un cinq sur le dé ? C’est simple : l’ensemble des résultats favorables est uniquement A = {5}, et l’univers reste Ω= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. On applique la formule :

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1;2;3;4;5;6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Quelle est la probabilité d’obtenir sur le dé un nombre divisible par trois ? Il faut déterminer quels nombres du dé sont divisibles par trois. Ce sont seulement 3 et 6 ; l’ensemble des résultats favorables est donc B = {3 ; 6}. Ensuite, il suffit de calculer comme d’habitude :

   $$P(B)=\frac{|\{3;6\}|}{|\{1;2;3;4;5;6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Essayons maintenant de lancer deux dés en même temps. Quelle est la probabilité que deux six sortent ? Il faut d’abord calculer Ω, c.-à-d. l’ensemble de tous les résultats, en comptant toutes les possibilités. Ainsi, si le premier dé donne 1, le second peut donner de 1 à 6 : cela fait six possibilités. Si le premier dé donne 2, le second peut à nouveau donner de 1 à 6 ; on trouve six possibilités supplémentaires. Et ainsi de suite pour tous les nombres que peut donner le premier dé. Toutes les possibilités se présentent alors ainsi :

   $$\begin{array}{rcl}& \mathrm{\Omega }=& (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),\\ & & \dots \\ & & (6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)\end{array}$$

   Il y a six lignes et six possibilités par ligne, soit 6 · 6 = 36 résultats possibles. Combien d’entre eux appartiennent en même temps à l’ensemble des résultats favorables ? Une seule possibilité, à savoir (6 ; 6), puisque l’on veut obtenir deux six. On obtient donc la probabilité :

   $$P(C)=\frac{|\{(6;6)\}|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Quelle est la probabilité que les deux dés donnent le même nombre lorsqu’on les lance ensemble ? Le nombre de résultats possibles reste 36, voir l’exemple précédent. Mais combien y a-t-il de résultats favorables ? Seulement dans six cas les deux dés donnent le même nombre : D = {(1 ; 1) ; (2 ; 2) ; … ; (6 ; 6)}. On applique la formule :

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Quelle est la probabilité, en lançant deux dés, un blanc et un noir, d’obtenir 3 sur le dé blanc et 5 sur le dé noir ? Le nombre d’éléments de Ω reste égal à 36. À quoi ressemble l’ensemble des résultats favorables E ? Il ne contient que la possibilité (3 ; 5) ; la probabilité est donc égale à

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Quelle est la probabilité, en lançant deux dés, un blanc et un noir, d’obtenir les nombres 3 et 5 ? Cet exemple ressemble au précédent, mais on n’exige pas que le 3 sorte sur le dé blanc et le 5 sur le dé noir. Il suffit que l’un des dés donne 3 et l’autre 5. On obtient ainsi davantage de possibilités : outre (3 ; 5), il y a aussi (5 ; 3). La probabilité de cet événement F est donc égale à :

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Quelle est la probabilité, en lançant deux dés, d’obtenir au moins un six ? Procédons pas à pas : si le six sort sur le premier dé, le second dé peut donner les nombres de 1 à 5, soit cinq possibilités. Si le six sort sur le second dé, le premier peut donner les nombres de 1 à 5, ce qui fait cinq possibilités de plus. Enfin, le six peut sortir sur les deux dés, ce qui est une possibilité supplémentaire. Au total, on a donc 5 + 5 + 1 = 11 possibilités. L’ensemble des résultats favorables G s’écrit ainsi : G = {(6 ; 1) ; (6 ; 2) ; (6 ; 3) ; (6 ; 4) ; (6 ; 5) ; (1 ; 6) ; (2 ; 6) ; (3 ; 6) ; (4 ; 6) ; (5 ; 6) ; (6 ; 6)}. On obtient la probabilité :

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. Il y a 30 élèves dans une classe. Quelle est la probabilité que l’élève Lucas soit interrogé en histoire, sachant que la prof interroge deux élèves à chaque cours et que personne n’a encore été interrogé ? Pour calculer la probabilité, il faut déterminer combien de paires d’élèves différentes existent et combien de paires différentes contiennent Lucas. Comme l’ordre dans lequel la prof interroge les élèves n’a pas d’importance, on utilise les combinaisons.

   Maintenant, ce sera simple. Il y a 30 élèves au total, et l’on se demande combien de paires différentes on peut former avec eux. On arrive ainsi au coefficient binomial :

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   Et dans combien de paires se trouve Lucas ? Si Lucas fait partie de la paire, il reste 29 élèves avec qui il peut en former une (il ne peut pas former de paire avec lui-même, donc 30 − 1 = 29). Nous connaissons maintenant le nombre de toutes les possibilités et le nombre de possibilités favorables, on peut donc appliquer la formule :

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Remarque : on peut aussi compter toutes les paires sans combinaisons. Comment former toutes les paires si la classe compte 30 élèves ? On prend à chaque fois un élève et on lui associe successivement tous les autres. Par exemple, on prend Hugo et on le met en paire avec tous les autres élèves, ce qui fait 29 paires. On fait cela pour chaque élève, donc pour les 30 élèves. On obtient au total 30 · 29 = 870 paires. Mais chaque paire est comptée deux fois : une fois sous la forme (Hugo ; Chloé) et une fois sous la forme (Chloé ; Hugo) (selon que c’est Hugo qui est associé au reste de la classe, ou Chloé qui est associée à Hugo). On divise donc ce résultat par deux, et on obtient le résultat final : 870 / 2 = 435.

9. C’est un exemple pratique tiré de la vie quotidienne, dont tu as sûrement déjà eu besoin de connaître la réponse : quelle est la probabilité de tirer, dans un range-chaussures où se trouvent douze paires de chaussures, exactement trois chaussures pour le pied gauche ? Commençons par calculer combien de trios différents on peut tirer du range-chaussures. Il nous faudra pour cela des combinaisons, puisque l’ordre dans lequel on tire les chaussures n’a pas d’importance. Il y a 24 chaussures au total et l’on veut en tirer 3. On obtient le coefficient binomial :

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   On a ainsi établi qu’il existe au total 2024 combinaisons différentes de trois chaussures que l’on peut tirer du range-chaussures. Il faut maintenant compter les combinaisons favorables, c.-à-d. celles qui ne contiennent que des chaussures pour le pied gauche. Le range-chaussures contient 12 chaussures gauches. Il suffit donc de calculer combien de combinaisons on peut former avec ces 12 chaussures. On arrive encore à un coefficient binomial :

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Il existe donc 220 combinaisons ne contenant que des chaussures pour le pied gauche. C’est tout ce qu’il nous faut savoir : il ne reste plus qu’à appliquer la formule :

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Nous avons donc environ 10 % de chances de tirer trois chaussures, toutes pour le pied gauche.